時間：2022-03-13 22:10:35
導語：在數(shù)學分析論文的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領您探索更多的創(chuàng)作可能。
1、優(yōu)美的圖形總帶給人們美的享受。
如華東師大版初一數(shù)學（上）第一章P13第六題：請以給定的圖形（兩個圓、兩個三角形、兩條平行線）為構(gòu)件，構(gòu)思獨特且有意義的圖形，并寫一兩句詼諧的解說詞。在教學中我讓學生先個人設計，發(fā)揮想象，并相互交流，然后對全班同學中的優(yōu)秀作品展示并評獎。如“戰(zhàn)車”、“風箏”、“夕陽夾山”、“倒影入溪”等許多構(gòu)思巧妙、意義豐富的圖形加上詼諧的解說詞，讓同學們體會到成功的樂趣。為用簡單的幾種幾何圖形也能構(gòu)成美麗的圖案而感到驚奇，從而大大提高了學習數(shù)學的興趣。
2、對稱均衡的數(shù)學圖案設計，大大提高學生的審美水平和創(chuàng)造力。
對稱圖形的學習，學生不僅僅是獲得了知識，還獲得了美的享受，提高了分析問題的能力。客觀世界中存在著許許多多的對稱圖形，它們讓我們感受到數(shù)學世界的美好。很多的對稱圖形是前人或現(xiàn)在的人們創(chuàng)造出來的，其中的精品可以說是人類智慧的結(jié)晶，這些圖形裝點著我們生活的方方面面，不僅使我們的審美水平和創(chuàng)造力得到了提高，還使我們多了一條解決問題的思路，對于一些題目，從對稱的角度去思考，可以使問題得到巧妙的解答。
、通過發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的和諧美，使學生感到學習數(shù)學“有趣”。
數(shù)學學科從定義、定理、公理、性質(zhì)、公式以及數(shù)學方法、數(shù)學思想等方面來看，表面看來是獨立且毫無聯(lián)系的知識之間都存在著必然的聯(lián)系。特別是由數(shù)學的對稱性、統(tǒng)一性所表現(xiàn)出來的和諧性是一種實實在在的美，既有利于減輕學生的學習負擔，又使學生感到學習數(shù)學有趣。比如在教學華師版初一數(shù)學（下）等腰三角形一節(jié)中“等腰三角形三線合一”性質(zhì)時，在等腰三角形的三線（頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線）中，知其一可說明另二。學生掌握這一定理也就容易多了。又如在平行四邊形一章中，幾種四邊形之間既有區(qū)別，又有著必然的聯(lián)系。學生認識從一般的四邊形到平行四邊形到矩形、菱形、正方形之間的變化過程，對于學生認識幾種圖形，減輕學習中的負擔有很重要的作用，同時學生發(fā)現(xiàn)了所有平行四邊形間的變化過程、掌握這一類圖形間的區(qū)別與聯(lián)系，也感到了學習樂趣。
三、發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的殘缺美，提高學生分析問題的能力，使學生感到學習數(shù)學也“有惑”，激發(fā)學生想學習下去的欲望。
當代中小學數(shù)學教科書的“殘缺不全”,為學生提供了鍛煉思維的機會。當然，這兒指的“殘缺不全”是指數(shù)學知識因為認知能力的不夠而不完整，在我們的教課書中，數(shù)學始終在自我矛盾中發(fā)展的。還有指數(shù)學中的不和諧“比比皆是”，也構(gòu)成了數(shù)學的殘缺美，為豐富數(shù)學的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力起到了不可磨滅的貢獻。比如：某教師在教學平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的使用時，給學生出了這樣一題：某市體委從甲、乙兩名運動員中選拔一名運動員參加全運會，每人射擊5次，打中的環(huán)數(shù)為：甲：7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、8環(huán)；乙：5環(huán)、10環(huán)、6環(huán)、9環(huán)、10環(huán)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為選誰參加全運會比較合適？于是同學們對甲乙二人的成績作了分析：（1）平均數(shù)：兩人都是8環(huán)；（2）中位數(shù)：甲是8環(huán)，乙是9環(huán)；（3）眾數(shù)：甲是8環(huán)，乙是10環(huán)。明顯從中位數(shù)和眾數(shù)兩項指標上看，乙都優(yōu)于甲，但是市體委領導卻選中了甲運動員參加全運會，你認為公平嗎？談談理由。學生激情高漲。是啊，都覺得應由乙參加全運會，因為運動員的成績主要指標是平均數(shù)，在平均數(shù)相同的條件下，為什么不讓乙運動員去，因為乙的發(fā)揮極不穩(wěn)定。成績的穩(wěn)定性要用另一種量來表示。于是學生迫切想繼續(xù)研究能夠表現(xiàn)成績穩(wěn)定的量——方差。但是教師卻并不急于講解，只對學生說在以后的教材中會學習到，這樣留下一個不完美的結(jié)局，讓學生去研討、解惑，從而激發(fā)學生學習的欲望，提高學習的興趣。
總之，數(shù)學總是美的，數(shù)學是美的科學，追求數(shù)學美是數(shù)學發(fā)展的動力之一，也是學生學習數(shù)學的動力。數(shù)學本身從形式到內(nèi)容都充滿了美，教師在教學中應充分挖掘和展示數(shù)學的美，使學生在美的環(huán)境中愉快地學習，從而提高學生的學習興趣。
關鍵詞：書法學習心理學技能心理機制
書法教育，包含技能教育、藝術教育、情操教育等多方面的內(nèi)涵。近年來，書法在心理教育方面的功能逐漸被學界重視。但較多的是側(cè)重如何激發(fā)學習興趣以及書法練習對促進個體心理健康的作用等方面進行研究。至于書法技能形成的內(nèi)在規(guī)律和心理機制，學術界還少有論及。書法，或稱書道，是一門心靈的藝術，稱之為“法”或“道”，說明其同時又是技能（技巧）性極強的藝術。技能的形成，是書法充分發(fā)揮心理調(diào)節(jié)作用、實現(xiàn)藝術創(chuàng)作的基本前提。筆者擬運用現(xiàn)代心理學理論，結(jié)合書法教學實踐，對書法技能形成的內(nèi)在規(guī)律進行分析和闡述，以期對書法教學有所啟發(fā)。
一、書法技能形成的基本心理規(guī)律
書法是講究“心手相應”的技能，技能的形成是進行高級藝術創(chuàng)作的必要前提條件。技能作為一種活動方式按其性質(zhì)和特點可以分為動作技能和心智技能。動作技能是由一系列實際動作組織起來的完善而合理的活動方式，它表現(xiàn)為身體的肌肉、骨骼運動和與之相應的神經(jīng)系統(tǒng)部分的活動。而心智技能則是把特定的感知、記憶、想象和思維等心理活動按一定的程序方式組織起來，并順利完成某種活動的過程。書法技能的訓練是動作技能和心智技能相結(jié)合的活動，其中書法的書寫過程可納入動作技能的范疇，而讀帖、臨帖時的思維活動以及創(chuàng)作中的心態(tài)等因素則可歸入心智技能的范疇。在書法技能的訓練過程中，動作技能和心智技能總是相輔相成、有機地結(jié)合在一起。書法創(chuàng)作和練習都需要“心手相應”，寫出來的字是腦的活動通過手的運筆“外化”的結(jié)果。
書法技能的形成必須經(jīng)過一個從不熟練到熟練的磨礪過程。古代書論歷來強調(diào)技能的熟練，正如姜夔在《續(xù)書譜》中說，書法“所貴熟習精通，心手相應，斯為美矣?！奔寄艿氖炀?，是經(jīng)過反復練習所形成的達到高度“完善化”和“自動化”，此時意識對動作的控制程度減至最低。要將技能發(fā)展到熟練的程度，必須經(jīng)過三個階段，即認知——定向階段、動作系統(tǒng)初步形成階段、動作協(xié)調(diào)和技能完善階段。這些因素決定了書法學習應該遵循由淺入深、由表及里的原則進行，按照書寫姿勢、筆畫線條練習、間架結(jié)構(gòu)分類練習等順序進行學習和訓練，每個階段根據(jù)不同的任務反復練習，從對字形的局部掌握到整體掌握，再到大腦與動作的協(xié)調(diào)完善，進而加強動作的熟練和節(jié)奏，循序漸進，將局部的用筆聯(lián)合成一個協(xié)調(diào)化的運筆模式，運筆速度加快，穩(wěn)定性和靈活性提高，最后達到得心應手的程度。
臨摹是書法技能形成的不二法門，故有“初學不外臨摹”之說（見周星蓮《臨池管見》）。任何技能都是通過模仿和聯(lián)系獲得的，書法是線條的藝術，學習如何塑造好線條形態(tài)最常用方法是臨摹。臨摹實際上是一個觀察、記憶的過程，包括對漢字筆畫、結(jié)構(gòu)和對指、腕、臂動作的觀察和記憶。
二、觀察學習：規(guī)則的獲得
觀察是有目的、有計劃的主動知覺過程，比一般的知覺有更深的理解性。學生通過觀察，對筆畫的長短、粗細、偃仰、向背，墨色的濃淡，運筆的節(jié)奏，整體的風格、神韻等變化萬端的線條組合產(chǎn)生鮮明而具體的感受和感性認識，以便于進行進一步的抽象概括。在學習書法技能的過程中，觀察主要可以分為兩類。
第一，靜態(tài)觀察。先觀察碑帖或范字中點畫的形狀特征，如側(cè)點、豎點、挑點，懸針豎、垂露豎的異同等等；其次，觀察結(jié)構(gòu)特征，看每一點畫起筆、送筆、收筆的正確位置，點畫間的呼應、交錯、揖讓和向背等關系，左右、上下偏旁的相對位置，上下左右偏旁所占空間的寬窄、四邊留白的多少以及線條間的疏密等等，判斷整個間架主體的形狀是何種方形，外形是正或斜。
第二，動態(tài)觀察。觀察老師動作：先看握筆松緊；其次看起筆、行筆、收筆的方向、速度、力度，筆鋒的提按頓挫；再次感受手感和運力（指力、腕力、臂力）。心理學實驗研究表明，觀察對正確的動作規(guī)則和結(jié)構(gòu)規(guī)則的形成具有十分重要的作用，是技能形成的必要準備。
提高觀察有效性的關鍵是對注意力的訓練。初學者臨摹一般要求盡量逼真，但范字提供的信息很多，要在短時間內(nèi)準確把握這些信息并不容易。一般來說，讀帖時的注意都屬于需要一定意志努力的隨意注意，維持注意最有效的辦法是明確其觀察的目的和任務，通過各種強化增強其完成任務的愿望。在沒有明確目的指導下的學生往往沒有明確的注意對象，他可能對范字的各個部分都泛泛地加以注意，結(jié)果往往是顧此失彼。書法教學中可以將目標任務分解，例如第一步只需注意范字的基本筆畫，第二步只需注意范字的結(jié)構(gòu)規(guī)律等等。這樣目的明確，每次注意指向的范圍小，集中性更好，對技能的形成更為有利。另外，臨摹不成文的或不懂內(nèi)容的字帖也不利于維持注意。因此在書法教學過程中，融入符合學生年齡特點的詩詞或國學經(jīng)典的教學，相應臨寫一些詩詞或經(jīng)典，或者對碑帖的內(nèi)容進行適當?shù)闹v解，既是對智力活動的合理組織，又能激發(fā)學生興趣，對維持注意十分有利，同時對文化底蘊的提升、習慣的養(yǎng)成、人格的熏陶等更是大有裨益。三、記憶與表象融合：自由創(chuàng)作的起點
臨摹還涉及到記憶的問題，包括對碑帖的形象記憶和對運筆的動作記憶。心理學理論認為：信息刺激在大腦皮層的有關部位建立暫時聯(lián)系，在大腦中留下一定的“痕跡”，這種“痕跡”的保持就是記憶。臨摹就是要將古人法帖中的“信息刺激”——即所蘊含的基本技巧、表現(xiàn)方法等，通過重復模仿訓練，在大腦中建立聯(lián)系和留下痕跡，不斷積累后變?yōu)樽约旱哪芰?。記憶是整個書寫過程不可或缺的，臨摹的成效與記憶的深淺是成正比例的。
傳統(tǒng)意義上的臨摹一般包括摹、臨、背三個階段。摹的方式很多，有仿影、描紅、雙鉤、單鉤等等；臨主要指對臨，傳統(tǒng)的書法教學常常利用田字格、米字格、九宮格將方格切分，讓學生容易掌握筆畫、偏旁的位置，最終達到去格臨寫的水平。當然，對臨并不一定要用筆寫在紙上，有時候也可以通過讀帖來完成，正如姚孟起在《字學憶參》中說:“古碑無不可學，漢代摩崖，手不能摹者摹以心，心識其形，手亦從之?！北持副撑R，或者稱為“默臨”，就是書寫者不對照字帖，憑記憶將字形、筆畫和神態(tài)寫出來，即使手中無筆，也能將所習之字的筆畫、結(jié)構(gòu)、運筆一一在腦海中放映。摹、臨、背的訓練過程，實際上是一個識記、保持和重現(xiàn)的過程。摹寫主要是訓練對筆畫的識記，而對臨則主要是訓練對間架結(jié)構(gòu)、大小、高低等位置要素的識記。這種識記需要通過長期的訓練才能得以保持。背臨實際上就是對前期摹寫和對臨所得到的經(jīng)驗進行回憶和再認。類似背臨的這種“嘗試回憶”是強化加深記憶更有效的辦法。所以，臨摹的三個階段是不斷穩(wěn)定和深化的記憶過程，它們對記憶力的訓練各有側(cè)重，而且環(huán)環(huán)相扣，不可偏廢。
通過摹、臨、背的記憶訓練，使學習者對范字形象和運筆動作形成較為穩(wěn)固的心理表象。心理表象不再是事物形象的簡單再現(xiàn)，而是經(jīng)過復合、融合，達到比知覺、比個別表象更豐富、更深刻的水平。學習者一旦能建立起記憶表象與運筆寫字的聯(lián)系，用頭腦中的記憶表象指導手的動作，再省察動作過程與原有表象的差別，不斷完善動作和表象，那么線形的臨寫就不是簡單的描摹，而是一種積極思維活動的過程，是對書法藝術語言本質(zhì)的思考和把握。
傳為王羲之所作的《題〈筆陣圖〉后》中，曾經(jīng)詳細描述創(chuàng)作前的心理活動過程：“夫欲書者，先干研墨，凝神靜思，預想字形大小、偃仰、平直、振動，令筋脈相連，意在筆前，然后作字?！币簿褪钦f，自由創(chuàng)作實際上是一種記憶的延伸和再加工。時下有些書法教育工作者，急于求成，采取直接寫成作品給學生臨摹的方法去應付各種比賽和展覽，在比賽中屢屢獲得成績，這種方法的好處是可以在一定程度上調(diào)動學生的積極性。但這種方法打破了記憶形成和深化的鏈條，不利于學生能力的培養(yǎng)，學生離開了老師的書稿就很難進行獨立創(chuàng)作。
結(jié)語
書法是一門有幾千年歷史的古老藝術。歷代書論中也有不少關于書法教育的論述，但這些成果往往是個人經(jīng)驗的總結(jié)，而且十分零散，幾千年來，中國的書法教育模式基本上停留在繼承這些經(jīng)驗性的總結(jié)層面。這些總結(jié)中有不乏精彩的、至今仍然具有啟發(fā)性的論述，但也有不盡合理的部分，這些都需要運用現(xiàn)代的科學認識去甄別和總結(jié)。心理學作為研究教育的有力武器，也應該被應用到書法教學中去，建立系統(tǒng)的書法教育中的心理機制理論，探索更為科學的教學模式。
參考文獻：
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一、對中學數(shù)學思想的基本認識
“數(shù)學思想”作為數(shù)學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內(nèi)涵，我們認為：數(shù)學思想是人們對數(shù)學科學研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學家；而認識的客體，則包括數(shù)學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關聯(lián)和相互支持的關系等?？梢?，這些思想是歷代與當代數(shù)學家研究成果的結(jié)晶，它們蘊涵于數(shù)學材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認為數(shù)學思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數(shù)學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學數(shù)學內(nèi)容更有利于提高數(shù)學教學效果，還有人認為中學數(shù)學內(nèi)容應運用數(shù)學結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學材料的基礎上來論述數(shù)學思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數(shù)學教材中起到積極的促進作用的。
關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學觀(數(shù)學的起源與發(fā)展、數(shù)學的本能和特征、數(shù)學與現(xiàn)實世界的關系)，數(shù)學在科學中的文化地位，數(shù)學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數(shù)學內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數(shù)學思想的特性和作用
數(shù)學思想是在數(shù)學的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學及其研究對象，對數(shù)學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學方法的本質(zhì)性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學概念、命題和數(shù)學模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學思想凝聚成數(shù)學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學模型和數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數(shù)學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學模型。從而將一種關系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數(shù)學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。
三、數(shù)學思想的教學功能
我國《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學的基礎知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學數(shù)學教學中必須大力加強對數(shù)學思想和方法的教學與研究。
(一)數(shù)學思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學教材所涉及的數(shù)學知識點匯成了數(shù)學結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學思想作靈魂，各種具體的數(shù)學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體?？梢?，數(shù)學思想是數(shù)學的內(nèi)在形式，是學生獲得數(shù)學知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數(shù)學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學見效快，收益大。
(二)數(shù)學思想是我們進行教學設計的指導思想
筆者認為，數(shù)學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學活動過程中去。這種設計不能只是數(shù)學認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學設計，應當是歷史上數(shù)學思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現(xiàn)代數(shù)學思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數(shù)學思想作為指導。有了深刻的數(shù)學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設計來，才能引發(fā)起學生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求?？恳回炄绱嗽O計的課堂教學培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
中學數(shù)學教學過程，實質(zhì)上是運用各種教學理論進行數(shù)學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數(shù)學思想的問
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(三)數(shù)學思想是課堂教學質(zhì)量的重要保證
數(shù)學思想性高的教學設計，是高質(zhì)量進行教學的基本保證。在數(shù)學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現(xiàn)代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創(chuàng)造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學教學活動過程。
有人把數(shù)學課堂教學質(zhì)量理解為學生思維活動的質(zhì)和量，就是學生知識結(jié)構(gòu)，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學課的教學效果。“新”指學生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數(shù)學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。
多媒體引入課堂對學生的影響主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
一學生的學習方式發(fā)生了改變
學生由傳統(tǒng)教學模式中被動地接受知識，轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥貙W習知識。通過計算機，尤其是通過網(wǎng)絡技術，學生可以利用各種學習資源去主動地構(gòu)建自己的知識體系。由傳統(tǒng)教學中的以聽教師講課為主，轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訁⑴c知識的學習過程中。在形式上，也由過去單純的在教室里聽講變?yōu)槎喾N形式并存的模式：課堂學習、小組討論、聽講座、協(xié)作學習等都可能成為學生學習的方式。當然，這種學習方式對學生也提出了更高的要求，在形形、豐富多彩的各種信息撲面而來時，處理信息、加工信息就成為對每一個參加學習的學生的基本要求。
二、學生的角色發(fā)生了變化
學生由過去傳統(tǒng)教學模式下的被動接受知識的“配角”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W習知識的“主角”。學生的學習過程也不再是教師強加給學生的一種負擔，而成為學生生活中一種不可或缺的過程。學生的主體作用得到了充分的發(fā)揮，學習的主動權(quán)掌握在學生的手中。在教師的適時、適度、適宜的指導下，學生可以根據(jù)自己的興趣和愛好進行有方向性的學習和發(fā)展，這將非常有利于學生的能力培養(yǎng)。
三、更適合學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)
傳統(tǒng)教學中數(shù)學課的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要通過一題多解等形式進行，但實際上學生的主要精力消耗在大量的復雜的運算上。因此，學生對自己的假設實際上很難進行驗證和證明。這就使學生驗證自己的設想成為一種可能。這必將促使學生進行深層次的思考，以挖掘問題。這種現(xiàn)象又會反過來促進學生的學習。
正因為這樣,應用它輔助授課，不僅優(yōu)于傳統(tǒng)的畫圖示意和教具演示，而且能取得比投影、錄像還好的效果?，F(xiàn)就我的嘗試談幾點體會：
一、激發(fā)興趣
要讓小學生愛上數(shù)學課，產(chǎn)生對數(shù)學學習的濃厚興趣，首先要求教師把教學過程組織得生動有趣。微機輔助授課，表現(xiàn)力強，能把枯燥的知識變得生動形象，圖像的翻滾、移動、閃爍、重復、定格，色彩的變化以及聲音效果等都能給學生以新異的刺激感受，能吸引學生注意力，激發(fā)學生的學習興趣。第九冊第二單元應用題例5“相遇問題”的教學，原先我們通常采用畫線段示意圖和教具演示的方法，由于感知程度低，不少學生被動學習，機械地接受知識，教學效果不太理想?，F(xiàn)在我們改用微機動畫演示，先分別出示小強和小麗兩家，再閃爍出現(xiàn)學校，讓學生先弄清三者之間的位置關系，聲響提示后兩人分別從兩家同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過4分鐘在學校相遇時再次聲音提示。小強行的路用藍色表示，小麗行的路用紅色表示，屏幕底色是淺黃色，色彩清晰明麗。這樣的課堂教學，學生感到新鮮，注意力高度集中，課堂氣氛活躍，發(fā)言熱烈。
二、解決重點
運用電腦進行動態(tài)圖像演示，可幫助學生迅速感知教學內(nèi)容，促進對知識重點的理解和掌握，小學數(shù)學第五冊“長方形周長的計算”教學重點是讓學生理解、掌握“(長＋寬)×2”的算法。由于三年級學生年齡小，抽象思維能力差，不通過有效的手段是不能取得較好的教學效果的。我們通過微機演示并伴著音響提示，首先閃爍出現(xiàn)“長”三次，再閃爍“寬”三次，使學生清楚地看到長方形有兩個寬和兩個長，再操作微機通過移動其中的一條“長”，旋轉(zhuǎn)兩條“寬”，組合成一條與長方形周長等長的線段，對每次移動結(jié)果均閃爍變色以引起學生注意。這樣學生就很容易從演示過程中理解長方形的周長包含著2個“長＋寬”的和，概括出“長×2＋寬×2”或“（長＋寬）×2”的計算方法，以達到解決重點，內(nèi)化知識的目的。
三、突破難點
學生接受新知識，思維常在難點處受阻，微機輔助授課可以起到突破難點的作用?！跋嘤鰡栴}”的第二種解法是教學的難點，學生對于為什么用“速度和×時間＝路程”難以理解，一般的教學手段很難演示出兩個不同速度的物體同時進行勻速運動。我們設計教學課件，把小強和小麗相向勻速運動的過程中每分鐘所行的路程留下痕跡，并用不同顏色的線段顯示出小強、小麗每分鐘共行的米數(shù)，再按時間先后將其中的“線段”移出，組合成四條線段。學生觀察演示過程就可以理解求兩家相距多遠，可以用“小強、小麗每分鐘一共行多少米”和“行了4分鐘”這兩個條件列式解答，形成第二種解法的思路，使難點迎刃而解。
四、發(fā)展思維
運用電腦模擬演示，不僅能夠啟發(fā)、誘導學生進行判斷、推理、抽象、概括、比較、辨析等，而且有助于開拓思路，起到發(fā)展思維的作用。在教學“邊長與角的大小無關”這一部分內(nèi)容時，我們首先出示一個角，接著從中移出兩個相等的角分別放在原圖左右兩邊，將左右兩邊角的邊作縮短和延長操作，最后在把左右兩邊的角水平移回到中間的角上，從而引導學生歸納概括出“角的大小與邊長無關”的結(jié)論。
一、造成分化的原因
（一）缺乏學習數(shù)學的興趣和學習意志薄弱是造成分化的主要內(nèi)在心理因素。
對于初中學生來說，學習的積極性主要取決于學習興趣和克服學習困難的毅力。筆者對四處初中的抽樣調(diào)查表明，284名被調(diào)查學生中，對學習數(shù)學有興趣的占51％，其中有直接興趣的47人，占15％；有間接興趣的85人，占30％；原來不感興趣，后因更換老師等原因而產(chǎn)主興趣的17人，占6％；對數(shù)學不感興趣或興趣軟弱的占49％，其中直接不感興趣的20人，占7％，原來有興趣，后來興趣減退的118人，占42％。調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)，學習數(shù)學興趣比較淡薄的學生數(shù)學學習成績也比較差，學習成績與學習興趣有著密切的聯(lián)系。
學習意志是為了實現(xiàn)學習目標而努力克服困難的心理活動，是學習能動性的重要體現(xiàn)。學習活動總是與不斷克服學習困難相聯(lián)系的，與小學階段的學習相比，初中數(shù)學難度加深，教學方式的變化也比較大，教師輔導減少，學生學習的獨立性增強。在中小銜接過程中有的學生適應性強，有的學生適應性差，表現(xiàn)出學習情感脆弱、意志不夠堅強，在學習中，一遇到困難和挫折就退縮，甚至喪失信心，導致學習成績下降。
（二）掌握知識、技能不系統(tǒng)，沒有形成較好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，不能為連續(xù)學習提供必要的認知基礎。
相比小學數(shù)學而言，初中數(shù)學教材結(jié)構(gòu)的邏輯性、系統(tǒng)性更強。首先表現(xiàn)在教材知識的銜接上，前面所學的知識往往是后邊學習的基礎；其次還表現(xiàn)在掌握數(shù)學知識的技能技巧上，新的技能技巧形成都必須借助于已有的技能技巧。因此，如果學生對前面所學的內(nèi)容達不到規(guī)定的要求，不能及時掌握知識，形成技能，就造成了連續(xù)學習過程中的薄弱環(huán)節(jié)，跟不上集體學習的進程，導致學習分化。
（三）思維方式和學習方法不適應數(shù)學學習要求。
初二階段是數(shù)學學習分化最明顯的階段。一個重要原因是初中階段數(shù)學課程對學生抽象邏輯思維能力要求有了明顯提高。而初二學生正處于由直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主過渡的又一個關鍵期，沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式，而且學生個體差異也比較大，有的抽象邏輯思維能力發(fā)展快一些，有的則慢一些，因此表現(xiàn)出數(shù)學學習接受能力的差異。除了年齡特征因素以外，更重要的是教師沒有很好地根據(jù)學生的實際和教學要求去組織教
二、減少學習分化的教學對策
（一）培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣
興趣是推動學生學習的動力，學生如果能在學習數(shù)學中產(chǎn)生興趣，就會形成較強的求知欲，就能積極主動地學習。培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣的途徑很多，如讓學生積極參與教學活動，并讓其體驗到成功的愉悅；創(chuàng)設一個適度的學習競賽環(huán)境；發(fā)揮趣味數(shù)學的作用；提高教師自身的教學藝術等等。
（二）教會學生學習
有一部分后進生在數(shù)學上費工夫不少，但學習成績總不理想，這是學習不適應性的重要表現(xiàn)之一。教師要加強對學生的學習指導，一方面要有意識地培養(yǎng)學生正確的數(shù)學學習觀念；另一方面是在教學過程中加強學法指導和學習心理輔導。
（三）在數(shù)學教學過程中加強抽象邏輯思維的訓練和培養(yǎng)。
要針對后進生抽象邏輯思維能力不適應數(shù)學學習的問題，從初一代數(shù)教學開始就加強抽象邏輯能力訓練，始終把教學過程設計成學生在教師指導下主動探求知識的過程。這樣學生不僅學會了知識，還學到了數(shù)學的基本思想和基本方法，培養(yǎng)了學生邏輯思維能力，為進一步學習奠定較好的基礎。
（四）建立和諧的師生關系
一、教學觀的解放
一線的美術教師都知道,多少年來在我們的教學中總離不開一本厚厚的教參。那里面有現(xiàn)成的教材分析，教學目的以及本課重難點。甚至有現(xiàn)成的教案和教學效果。本來美術教學在舊課程里就是小三門，副科,沒有什么考核標準。因此當一個無經(jīng)驗的新教師上崗時它便是不出教學失誤的保證書。當一個老教師教“?！绷说臅r候，它便是最現(xiàn)成的“午餐”。在對教師進行評價的時候我們聽到最多的就是“緊緊圍繞教材，重難點突出……”。大膽的創(chuàng)新對一個年青的教師來說最直接的陷阱可能就是公開課上的脫離教學大綱，組織教學不利的慘敗。在舊的講臺上當我們成熟起來的時，也許同時也發(fā)現(xiàn)我們失去了工作的創(chuàng)造力。試想一個發(fā)展學生創(chuàng)造力和個性的美術學科，由一個沒有創(chuàng)造激情的人來執(zhí)教的話，后果會如何。
當然改變也就意味著摒棄我們過去習慣了的生活方式。因此新課程教學觀的解放無疑在為我們帶來機會的同時也帶來了壓力和挑戰(zhàn)。它重新定義了教材的含義，把它從權(quán)威的指令變成了“仁者見仁，智者見智”的媒介。也就是說教師和學生不在是執(zhí)行者和接受者。教學內(nèi)容只是一個支點，至于能輻射出多大的能量就靠教師和學生的創(chuàng)生與開發(fā)了。在體會艱難的同時我們也漸漸感到了自由的快樂。教學的過程即是激發(fā)我們再創(chuàng)造的過程。課堂可以隨時變成實驗的田地，將我們的每一個想法和靈感付諸實現(xiàn)。以教學中的一課《奇妙的音樂》為例。本課教學目標是：“培養(yǎng)學生依靠聽覺感受，提高捕捉畫面的能力”。備課時我反復思索，在日常教學中抽象表現(xiàn)主義繪畫欣賞在小學一直是個空白。那么我能否利用本課教材的特殊性，結(jié)合音樂與美術這兩門藝術學科的通性為學生提供基礎性，豐富多彩的內(nèi)容和信息，拓展藝術視野，使學習變的更有趣更容易呢？在這課中美術應該成為學生表達音樂感受的媒介而不是部分學生表現(xiàn)的障礙?；谶@一思路并結(jié)合小學生的心理特點我將表現(xiàn)手段改具象為抽象的符號。來達到讓學生自由表現(xiàn)的目的。之前我利用一節(jié)課的時間讓學生充分的體會點線面和色彩的表現(xiàn)力,并結(jié)合抽象表現(xiàn)主義繪畫讓學生用自由聯(lián)想的方法談論對作品的感受。正處在無拘無束的年齡段的小學生接受的很快，不久他們就很樂意地開始嘗試用線條表達歡樂與悲傷，用色塊表達酸、甜、苦、辣。并為這種全新的表現(xiàn)手興奮不已。第二課時我直接由音樂導入，選取了，《江河水》、《慶豐收》、《杜鵑圓舞曲》、《野蜂飛舞》等音樂情緒比較鮮明的音樂片段讓學生完全沉浸在音樂的旋律之中，并通過自由聯(lián)想來表達音樂帶給他們的不同感受。充分活動后用音樂填充法讓學生找出與之相適合的美術作品。由于有了上一節(jié)課的基礎，學生很容易地完成了兩學科的跨越。開始愉快的利用各種材料手段并摹仿現(xiàn)代派大師的手法來表現(xiàn)樂曲《口哨與小狗》傳達給他們的感受。學生在學習中始終興奮著。課后反思時我發(fā)現(xiàn)在這一課的學習中雖然涉及了一個全新的陌生的知識領域卻沒有一個學生因為技法障礙而放棄。我用易于接受的表現(xiàn)方式和有趣的藝術活動打開了他們所有的感官。激起了每一個孩子表現(xiàn)的欲望。我想這已經(jīng)足夠了。正如新課標中對學習者的定義中講到的，“學習者學習最有效的時刻就是當其全部感官活躍起來的時候”。
二、學習方式的解放
過去我們在備每一課時最后一個環(huán)節(jié)總是離不開“學生作業(yè)、教師輔導”。似乎那就是一節(jié)美術課的目的。而作業(yè)效果就是本節(jié)課學習效果的反饋。我發(fā)現(xiàn)這種單一學習方式導致最終的一個學習結(jié)果就是那些細心的基礎好的孩子就一直好，那些基礎差的孩子就一直差。我曾一度懷疑自己的教學能力為什么在那些孩子的學前印象前顯得那么微弱。因為無論我怎么努力也改變不了他們腦子中的繪畫模式。一定要畫太陽、畫房子,再要么沒眼珠、沒耳朵的畫人。我用盡了方法,成果總是不大。當我重新審視自己時,才發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)陷入了“教畫畫”的怪圈里。我是一個美術教師,更是一個教育者,單一的學習對孩子來說就意味著被動。學生是有差異的，美術培養(yǎng)的不只是他們畫什么的能力,而是學生的個性與創(chuàng)新的能力。我的作用也不是教會他們畫什么,而是最大限度地開發(fā)學生的創(chuàng)造能力,重視實踐能力的培養(yǎng)。正像皮亞杰說的那樣“只有當所教的東西可以引起兒童積極從事再創(chuàng)造的活動，才會有效的被兒童接受?！庇纱宋议_始在平時的課堂中一點一點的改變。就拿《火車快跑》一課為例，教學設計時我拋棄了讓學生畫火車的原教學模式，做了幾個大的改變：首先調(diào)整了教室布局，將座位擺成車廂的格局以便激發(fā)學生的好奇心,讓學生更快的進入情境；二、讓學生搜集所有表現(xiàn)火車的作品，包括音樂兒歌謎語,以便讓學生更充分的感知對象——火車。三、找到一切你可以用來表現(xiàn)火車的物品，以發(fā)揮每一個孩子的特長激發(fā)參與學習的欲望。通過改變，我發(fā)現(xiàn)學生們變了，課堂氣氛也變了。在感知的過程中通過聽歌，看模型，表演和小組開火車游戲讓每個學生都興奮的參與著。表現(xiàn)的過程中學生都拿出了自己準備的各種材料投入的干著。平時鬧著的他們有秩序的參與著。最后作業(yè)展示時我也驚喜的發(fā)現(xiàn)這些孩子還真是能干，找的材料五花八門。有彩紙貼的火車，有蔬菜做的火車，有個人畫的火車，有玩具插的火車，有廢易拉罐、紙箱做的火車，還有幾個學生創(chuàng)編的小舞蹈《火車開啦》。做出的火車也是各式各樣，充滿了創(chuàng)造與想象。通過這次實驗我發(fā)現(xiàn)把自己解放出來，把學生解放出來，乃至把學習方式解放出來是多么重要。讓學生通過教師的引導，根據(jù)自己的需要，有選擇的去學，他們的主體性、獨立性、創(chuàng)造性才能發(fā)揮出來，教學也才是最有效的。之后，我又在平時教學中進行了一些單項的調(diào)整，收效也不錯。如《去太空旅行》一課。我在課堂上大談太空知識，試圖吸引他們。結(jié)果一個孩子小聲在下面問同學“這是什么課呀？”它像一根小針泄了我所有的氣。我在下一班上課再也沒勁講。只問了學生一句“宇宙是什么？”誰知學生一下炸了鍋，七嘴八舌的議論起來。我突然靈機一動，順水推舟的問學生誰能用一個詞來表達宇宙給你的印象。這群二年級的孩子們煞有介事地說了許多，諸如“可怕、奇妙、美麗、奧秘、無邊無際、神奇．．．．．．”我將它們都寫在黑板上，讓學生自由分成若干小組，開展想象，并討論其中一個詞，然后發(fā)言。結(jié)果學生將已知經(jīng)驗加上自由想象，講得非常好，我臨時把作業(yè)調(diào)整為作業(yè)利用手邊的材料，做個旅行匯報，遞交上來，可以自己完成，也可以小組完成，可以畫，可以寫，形式不限。一節(jié)課下來，我輕松的幾乎沒說什么，可學生很興奮，我也很興奮。這樣雖然不能保證每一個孩子都交上完美的繪畫作品但是他們可以用自己的方式向我呈現(xiàn)他們內(nèi)心更多更精彩的東西。這難道不是我們教的目的嗎？我想學習方式的解放不應只限于專門的實驗課，我手邊的每一節(jié)課、每個環(huán)節(jié)都可以改變，變成是給學生松綁的機會。只有這樣，教學才會讓所有學生保持持久的學習興趣，而不只是交上一張成功的繪畫作業(yè)。
三、評價體系的解放
本次課程改革徹底改變了過去單一的評價方式，強調(diào)了評價的目的，不是為了甄別選拔，而是為了被選拔者的發(fā)展，是幫助我們“創(chuàng)造適合兒童的教育”。從考察學生學會了什么到對學生是否學會學習、學會生存、學會做人等進行考察和綜合評價。
美術課程是最重視學生個性的課程之一，美術課程在引導學生形成社會共同目的的價值觀的同時，也努力保護和發(fā)展學生的個性。因此我們更應該在美術課堂上體現(xiàn)多維性和多級性，適應不同個性和能力的學生的美術學習狀況，幫助學生了解自己的學習能力和水平，鼓勵每個學生根據(jù)自己的特點，提高學習美術的興趣和能力。
從理論研究的角度看，王長沛教授的這些工作應當說有著更為重要的意義．因為，這正是中國數(shù)學教育研究的一個嚴重弊病，即在相當程度上只是一種純思辨的研究，而缺乏必要的科學論據(jù)，也正因為此，相關的研究往往就不能得到國外同行的承認或重視．從而，在這樣的意義上，就如張奠宙教授所指出的，王長沛教授的上述工作確實可被認為代表了我國數(shù)學教育研究在方法上的一次革命性突破，更值得大力提倡和推廣．
當然，這方面的工作又只是剛剛開始，要真正搞好“案例分析”，應當說還有很多工作要做．以下就從這樣的角度，特別是圍繞如何通過案例分析促進實際的教學工作提出一些初步的意見．
第一，“案例分析”當然以案例的收集作為實際出發(fā)點．但是，除去“以生動活潑的形式呈現(xiàn)學生做數(shù)學的真實過程”以外，筆者以為，我們又應在案例的分析上花更大的力氣．因為，如果忽視了后一環(huán)節(jié)，那么，即使人們可以由所制作的錄像獲得一定的啟示，諸如“難道我們的學生具有如此巨大的潛能？”“難道我們的學生連這些簡單的數(shù)學都不懂？”等等；但這主要地仍只是一種即時的、素樸的反應，更是與教師的實際教學活動相分離的．從而，即使我們積累起了眾多的案例，但最終卻很可能獲得這樣的結(jié)果：現(xiàn)場的演示引起了強烈的反映，人們紛紛做出各種各樣的評論，但是，由于缺乏必要的引導與深化，這些反映就始終是分散和零亂的，這樣，對相當一部分人來說，最后就很可能沒有從中得到任何真正的啟示或教益，另外一些人在當時可能領悟到了某些東西，但由于未能得到及時的強化，更由于所說的案例又“聚集在學生做數(shù)學上”，因此，這些認識也就往往不能在頭腦中真正得到確立，更未能對改進實際教學產(chǎn)生持久、穩(wěn)定的積極效果．
作為一個反例，筆者在此并愿提及以下的事實：在對美國進行學術訪問期間，我曾參加過一個數(shù)學教育博士研究生的論文答辯會．當被問及其所做的工作時，這位研究生展示了她所制作的近百盤（關于學生學習活動的）錄像帶，并說：“這就是我的工作．”這些錄像帶的制作當然不是一件很容易的工作，但是，人們還是要問：“所有這些錄像帶又究竟說明了什么呢？”顯然，如果我們不能對后者做出明確的說明，那么，單純的數(shù)量積累就是毫無意義的！
綜上所述，相對于案例的收集而言，我們就應更加注意對于案例的深入分析，特別是，就案例在教師培養(yǎng)活動中的應用而言，我們不能消極地期待教師會由觀看錄像等而在教學觀念上發(fā)生迅速的轉(zhuǎn)變，而應發(fā)揮積極的引導作用，以使之由一種自發(fā)的行為轉(zhuǎn)變成為自覺的行為．
第二，從根本上說，我們之所以要深入地去了解學生在數(shù)學學習活動中真實的思維活動，無疑是為了更好地去進行教學．也正因為此，筆者以為，我們關于學生學習活動的案例分析，主要地也就應當集中于如下的問題：這對于我們改進教學有什么啟示？
為了清楚地說明問題，可以聯(lián)系王長沛教授在上海所演示的以下案例進行分析．
三個小學生被要求解決如下的問題（憑記憶復述，因此不很準確）：
一個抽屜中放有80個紅色的小球，70個白色的小球，60個黑色的小球，50個蘭色的小球．小球的外形完全相同．一個小孩在看不見的情況下從抽屜中隨意取出一些小球，問他至少要從中取出多少個才能保證其中一定有10對顏色相同的小球．
盡管這一問題有一定的難度，但是，這三個學生通過積極探索，包括相互合作，最終成功地解決了這一問題．從而，這就清楚地表明了學生中的確存在有巨大的潛能．
但是，從教學的角度看，我們在此又可引出什么樣的結(jié)論呢？特別是，在充分承認學生具有創(chuàng)造性才能的同時，教師在此又應發(fā)揮什么樣的作用呢？
具體地說，筆者以為，在上述的解題過程中教師應當發(fā)揮積極的啟發(fā)或引導作用，包括在學生遇到困難時通過給予適當?shù)膯⑹疽詭椭鷮W生克服困難，以及在學生成功地解決了問題以后幫助學生做出必要的總結(jié)，從而使之從不自覺的行為上升為自覺的行為，特別是在思維方法上更能有所收獲．
例如，上述問題的求解事實上包括了兩個關鍵點：一是以5作為考慮的基本單位，二是應當考慮每次配對后的余數(shù)——只需要把這兩者很好地結(jié)合起來，我們就可成功地解決上述問題．
由錄像可以看出，這三個學生事實上就是依據(jù)這樣的方法解決問題的．但是，在此要強調(diào)的是，盡管學生通過主動探索成功地解決了這一問題，但這并不意味著他們對其中的關鍵點已經(jīng)有了清楚的認識，因此，這就應當被看成教師的一項重要工作，即是在所說的情況下應當幫助學生對解題過程做出認真的總結(jié)，以清楚地認識其中的關鍵點，從而也就可能在新的不同場合加以推廣應用．
當然，后者并非是指教師在此應當直接去點明所說的關鍵點；與此相反，筆者以為，更為恰當?shù)淖龇ㄊ?，教師可以對原來的問題做出適當?shù)淖冃?，借以啟發(fā)學生建立起自覺的認識．例如，如果我們將問題變化為抽屜中放有五種或六種（而不是四種）顏色的小球，就可幫助學生清楚地認識第一個關鍵點，也即實現(xiàn)由不自覺行為的重要轉(zhuǎn)變．
另外，與所演示的情況不同，如果教師所遇到的是這樣的情況：盡管學生進行了積極的探索，但卻始終未能解決問題．這時教師可提出這樣的問題：我們能否首先解決較為容易的問題？即如至少要從中取出多少個才能保證其中一定有一對（而不是十對）顏色相同的小球？又至少要從中取出多少個才能保證其中一定有二對顏色相同的小球？事實上，在所演示的錄像中，那三個學生也正是通過特殊化而發(fā)現(xiàn)了上述的兩個關鍵點．從而，這也就清楚地表明了這樣一點，無論在哪種情況下，在問題最終得到解決以后，我們又應幫助學生在思維方法上做出總結(jié)，即如加深對于“特殊化”這一方法的認識．
值得提及的是，王長沛教授在會上并曾提到以下的事實，即他的合作者曾要求高中學生求解同一個問題，而所得到的結(jié)果則是“完全出乎預料的”，即高中學生的實際表現(xiàn)并不明顯優(yōu)于小學生．在筆者看來，這事實上也就清楚地表明了思維方法的重要性，這就是說，如果我們忽視了這樣一點，那么，即使他們曾經(jīng)成功地解決了成千上萬個問題，但其解決問題的能力卻并沒有得到很大的提高．
第三，筆者以為，以上的分析事實上也為我們深入地開展數(shù)學教育研究提供了重要的思路，這就是說，與所提及的“純自然狀態(tài)”下的學習情況的真實記錄相對照，我們也可以教師指導下的學習作案例，并通過兩者的比較分析引出進一步的結(jié)論．
例如，對于以上所說的兩個建議，即在學生成功地解決了問題的情況下，教師可以通過問題的適當變形啟發(fā)學生對其中的關鍵點與相應的思維方法建立自覺的認識，以及在學生遇到困難時通過方法論的啟示以幫助學生掌握解題的關鍵，我們都可作為案例進行仔細的研究．另外，我們還可通過比較研究對不同的教學方法及其后果做出深入的分析．即如什么是教師進行干預的適當時刻和方式？這種干預又有什么樣的實際效果，包括短期效果和長期效果？
一、數(shù)學操作活動的界定
（一）數(shù)學操作活動的概念。
在數(shù)學教育中供給幼兒足夠的實物材料，創(chuàng)設一定的環(huán)境，引導他們按一定的要求和程序，通過自身的實踐進行學習的活動稱為操作活動。
數(shù)學知識的抽象邏輯性和幼兒思維的具體形象性，決定了幼兒數(shù)學概念形成要經(jīng)過操作層次形象層次符號層次的逐步抽象和內(nèi)化的過程，這需要以作用于事物動作的足夠經(jīng)驗和體驗為基礎，通過自身活動的操作層次，借助作的物體獲得感性經(jīng)驗，并從類似的多種經(jīng)驗中抽象概括而逐步建構(gòu)起來。因此，數(shù)學操作活動是一種與幼兒生活緊密聯(lián)系的知覺活動，是幼兒園數(shù)學教育的基本活動之一。
（二）數(shù)學操作活動與幼兒發(fā)展的關系。
幼兒期基本處于前運算階段，其思維有兩個基本特點：一是思維的半邏輯性，二是思維的邏輯建立在對客體的具體操作的基礎上?，F(xiàn)代心理學認為：單純地用眼睛看，并不能解決知識內(nèi)化的問題，即使再用語言表達一下，也不能形成完善的認知結(jié)構(gòu)，幼兒在相當程度上還要依靠直覺行動進行思維，需要實際操作物體，對物體施加動作，經(jīng)過反復地擺弄和探索，把外部動作轉(zhuǎn)化為內(nèi)部智力的操作，使問題的解決過程在頭腦中進行，解答那些需要邏輯思維的問題，發(fā)展數(shù)學能力。
通過對兒童認知活動的研究，人們對動作在思維發(fā)展中的作用有了比較清楚的認識，幼兒的雙手操作活動，促進大腦積極思維，有利于促進他們智能和相應能力的發(fā)展，對幼兒素質(zhì)的培養(yǎng)有著十分特殊的意義。
（三）數(shù)學操作活動的基本類型。
1.驗證性操作活動。教師先講解、演示、歸納，再讓幼兒通過實物或圖片進行操作驗證而獲得數(shù)學知識的一種操作形式。其目的在于促進幼兒對已學知識的進一步鞏固、理解，促進知識的內(nèi)化。例如在“三角形”的教學中，通過教師的演示、歸納學習了三角形的特征后，可給幼兒不同大小、不同顏色的三角形實物、圖片，供孩子們擺弄、操作、比較，鞏固對“三角形有首尾相連的三條邊，有三個角”特征的理解。
2.探索性操作活動。圍繞某一數(shù)學問題，讓幼兒通過自己對實物或圖片進行擺弄、操作、嘗試、探究，在動手實踐的基礎上發(fā)現(xiàn)有關規(guī)律的一種操作形式。其目的在于充分發(fā)揮幼兒學習的主動性，提高幼兒探索問題的能力與思維的目的性。例如在量的教學中，向幼兒提供材料不同、體積形狀相同的物體和材料相同體積形狀不同的物體，讓幼兒掂量、比較。然后，從大量的操作中發(fā)現(xiàn)“材料相同、體積越大，物體就越重，反之就越輕；材料不同，雖然體積相同，但重量卻不相同”這一規(guī)律。
3.創(chuàng)造性操作活動。提供某一材料讓幼兒自己設計出具有多種選擇性結(jié)果的一種操作形式。其目的在于讓幼兒充分地進行想象和多角度思考問題，培養(yǎng)創(chuàng)造能力。例如：在排序教學中，給幼兒一些不同顏色的幾何圖形，讓幼兒根據(jù)圖形與顏色的特征，設計不同的排序。如：按顏色不同、形狀不同、數(shù)量不同進行排序；顏色和形狀交替著按不變、遞增或增減進行排序，得出不同的排序形式。
（四）數(shù)學操作活動的基本組織形式。
1.集體操作形式：以教學班為單位按照同一教學內(nèi)容，使用同一操作材料、同一操作方式，在同一時間內(nèi)進行操作的組織形式。
2.分組操作形式：以教學小組為單位，各小組按教學內(nèi)容的層次不同，使用不同材料、不同操作方式，在同一時間內(nèi)并可以進行輪換操作的組織形式。
3.個別操作形式：幼兒根據(jù)各自的不同情況，自由選擇某一操作材料、某些操作伙伴、某種操作方式，不受時間限制的操作組織形式。
二、當前數(shù)學操作活動的誤區(qū)
（一）操作類型單一，不利于幼兒教學能力的發(fā)展。
在調(diào)查中90%的教師在操作活動類型的設計與選擇上，只限于理解或復習所教的知識時使用，忽視使用操作活動的其它類型。例如：學習數(shù)的組成時，在3的組成一直到10的組成這一系列教學中，常見的是幼兒先觀察教師演示實物或圖片操作，得出數(shù)的組成的規(guī)律，然后再進行操作驗證并口述結(jié)果。這樣，雖然幼兒學到了數(shù)的組成知識，但這種重復操作的過程是不能體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容體系的變化與思維發(fā)展的進程，不利于幼兒思維螺旋式發(fā)展和初步數(shù)學能力的逐步形成。
（二）操作組織形式一致，不利于體現(xiàn)教育的層次性。
在操作活動的組織上忽視幼兒的個別差異，要求整個活動中全班幼兒按同一目標集體操作的現(xiàn)象占極大多數(shù)。例如在分類教學中，常?？吹饺嘤變壕褂猛伾?、同形狀、同大小的圖形，統(tǒng)一按同一顏色、同一形狀或同一大小進行分類，即操作同一材料、思考教師提出的同一問題，這樣的操作活動不能促使每個孩子在原有的基礎上的到發(fā)展，達到因材施教，分層指導的原則。
（三）操作材料貧乏，不利于調(diào)動幼兒的學習興趣。
操作材料是幼兒學習的主要工具，是教育目標顯性的、可見的實施媒介，而在操作活動中貧乏、單調(diào)、式樣陳舊的操作材料，重復出現(xiàn)在數(shù)學知識的發(fā)展系列之中是普遍的。例如：數(shù)的形成的教學中，我們了解到有的幼兒園在從3的形成一直到10的形成的教學中，幼兒所用的操作實物材料都是蠶豆、花生，圖片材料全是水果圖片，操作材料的一成不變，使得幼兒在操作中沒有新鮮感，不可能產(chǎn)生興奮情緒和操作的欲望。
（四）只重視正規(guī)性操作活動，不利于滲透教育的隨機性。
操作活動是為實現(xiàn)教育目標而采用的一種教育手段，它的形式是多種多樣的，不受時間、空間的限制，它滲透到幼兒園一日生活之中。我們在有關操作活動的時間、空間問題的調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)許多教師只考慮到課堂教育中的正規(guī)性操作活動，對操作活動的實施也只是局限在課堂教學中，使幼兒失去了許多訓練動手動腦操作、應用數(shù)學知識解決生活中實際問題、認知與動作協(xié)調(diào)發(fā)展的良好時機。
三、走出誤區(qū)的途徑
（一）認真理解操作活動的精髓。
根據(jù)皮亞杰的觀點，幼兒應在操作物體時，不斷構(gòu)建兩種不同類型的知識：物理知識和邏輯數(shù)學知識，……兒童開始認識物體之間的聯(lián)系與關系。“邏輯數(shù)學知識”對兒童邏輯思維發(fā)展十分重要。它提供給幼兒操作的時間、空間，蘊含著有關數(shù)學概念屬性的各種材料，通過自身的操作、探索，揭示有關數(shù)學現(xiàn)象和原理，發(fā)現(xiàn)和能動地構(gòu)建數(shù)學關系，使教學意圖在幼兒自主學習的過程中得到體現(xiàn)，教學目標落實到每個孩子身上。充分體現(xiàn)幼兒的主體地位，發(fā)揮幼兒的積極性、主動性、創(chuàng)造性是操作活動的精髓。
（二）精心設計科學的、可行的操作過程。
操作過程應體現(xiàn)數(shù)學教育內(nèi)容的系統(tǒng)性和內(nèi)在邏輯性，符合幼兒心理發(fā)展的需要，達到數(shù)學教育的目標。
1.合理運用操作活動的組織形式。教育研究和實踐表明，幼兒學習數(shù)學的個體差異最為突出。把應該掌握的內(nèi)容分解成不同層次，并配有不同層次的材料，根據(jù)教育階段的需要將全班操作活動、分組操作活動、個別操作活動，合理互補貫穿運用于各個教育環(huán)節(jié)，引導孩子選擇適合自己能力的內(nèi)容或材料，慢慢地從一個較低的層次，發(fā)展到另一個相對高一些的層次，以發(fā)揮各處的優(yōu)勢和整體功能。例如：在梯形的教學中，首先，利用集體操作活動認識梯形的特征，然后，由各種具體的教育目標設計出不同層次的操作材料，將幼兒分成不同的小組。即：(1)從多種單一圖形中找出梯形；(2)在各種組合物體的圖形中找出梯形；(3)利用各種材料拼割成梯形；(4)利用梯形組合成各種實物圖形。這四個小組中，難度成階梯狀層層遞進，幼兒可根據(jù)自己的情況選擇小組，進行不同層次的操作，在操作中可請各種操作較規(guī)范的幼兒進行演示，以指導較差的幼兒，或教師進行個別輔導，幫助幼兒慢慢地從低層次過渡到高層次，在各自的基礎上得到相應的發(fā)展。
2.恰當選擇各種操作活動類型。根據(jù)不同的教育目標，設計合適的操作類型，將驗證性操作、探索性操作、創(chuàng)造性操作依據(jù)教育實際進行選擇并有機配合，幼兒在教師的精心指導下相對自由地進行操作、比較、探索，積累感性經(jīng)驗，并進行有關歸納、概括。例如在二等分教學中，首先在探索性操作活動中，讓幼兒理解二等分的含義；其次，在驗證性操作活動中，鞏固對二等分含義的理解并探索出整體和部分的關系；最后，在創(chuàng)造性操作活動中，讓幼兒對同種材料進行多種分法，得出不同的等分形式。在此教學過程中，操作過程環(huán)環(huán)相扣，操作類型相輔相存，幼兒在這一系列操作中步步接近和抽象出二等分的數(shù)學內(nèi)涵。
3.注重操作過程的指導和操作結(jié)果的評價。操作過程和效果是不可分割的統(tǒng)一體，注重過程的目的是為了獲得良好的效果，良好的效果形成于合理的過程之中。操作前：通過操作規(guī)則、注意事項的交待，簡潔、明了的指導語使幼兒能獨立有效地去操作、去“做”，使幼兒的“做”成為探索、發(fā)現(xiàn)的過程。在操作中：(1)鼓勵幼兒主動積極地探索和反復嘗試，重視他們發(fā)現(xiàn)的問題，并允許其有各自活動的水平；(2)有針對性根據(jù)幼兒的不同水平進行個別指導，并給予足夠的時間，幫助其克服操作中的困難，防止包辦代替，使微觀指導落到實處。(3)關注幼兒所進行的每一個活動，每一個環(huán)節(jié)的緊密聯(lián)系，宏觀地調(diào)整、控制教育過程，切實發(fā)揮教育的主導作用與幼兒的主體作用。操作結(jié)束后對幼兒做出恰如其分的全方位評價，該步驟對幼兒的發(fā)展很重要，心理學中“皮格馬利翁效應”，早已證實了這一點。(1)對操作結(jié)果進行知識性的評價使幼兒在操作過程中獲得的零星的、粗淺的感性的經(jīng)驗條理化、理性化，形成一定認知結(jié)構(gòu)，幫助幼兒形成比較完整的、正確的數(shù)學概念。(2)對操作技能進行評價，組織幼兒交流、示范、討論各自操作方法，評一評誰的操作最規(guī)范，方法最好，在互幫互學中培養(yǎng)幼兒科學規(guī)范的操作技能，提高比較、辯別的能力，促進數(shù)學語言的發(fā)展。(3)對幼兒的非智力因素進行評價，評一評哪一個小組合作得最好，哪一位小朋友最能克服困難，哪一件操作最精細，培養(yǎng)幼兒從事數(shù)學學習的良好品質(zhì)和事實求事的科學態(tài)度。
（三）積極創(chuàng)設與教育相適應的操作環(huán)境。
幼兒生活的一切時間、空間都是他們接收信息的環(huán)境，各種環(huán)境無時不在影響著幼兒，起著穩(wěn)性教育的作用。提供合理的環(huán)境刺激，最大限度地挖掘、利用蘊藏在環(huán)境中的教育資源，變環(huán)境影響為環(huán)境教育。
1.建立和諧的心理環(huán)境。
數(shù)學教育是教師與幼兒共同交往的過程，寬松、愉悅、融洽的人際關系雖然是無形的，它能使幼兒積極、主動、大膽、自信、自如進進行探索操作活動，它能使優(yōu)越的物質(zhì)環(huán)境得到有效的利用，建立良好的群體，和諧的心理環(huán)境，它將與操作活動組成最大的合力，獲得最大效益。
2.創(chuàng)設良好的物質(zhì)環(huán)境。
(1)重視非正視性的操作活動。正規(guī)性操作活動是有目的、有計劃的活動形式，非正規(guī)性操作活動是較為自由、隨意的活動，它對發(fā)展幼兒的興趣、愛好和個性有著較為顯著的作用。例如在收拾玩具這一過程中，教師有意識地滲透分類、排序的數(shù)學思想教育。在收拾玩具前，交待要求和標準，幼兒在拿到玩具時，首先要思考這個玩具有什么特點，它應放在哪一類中才能符合要求，然后再進行擺放；在擺放中按排序標準逐步進行調(diào)整。在這一常規(guī)性的日?；顒又?，幼兒經(jīng)歷了思考操作再思考再操作的訓練，不僅促進了認知、思維、動作的協(xié)調(diào)發(fā)展，而且訓練了解決生活中數(shù)學問題的能力。充分利用日常生活中所含大量的數(shù)學信息，拓寬數(shù)學操作活動的時間和空間，使得數(shù)學教育因素在幼兒一日生活之中得到充分的利用。
近年來，全國大學生數(shù)學建模競賽迅速發(fā)展，為國家培養(yǎng)了大批應用型人才。但由于各地區(qū)教育水平不同、相關部門對競賽的重視程度不同，導致各地區(qū)組織學生參加大學數(shù)學建模競賽的規(guī)模不同，在該項賽事中取得的成績差異比較顯著。2013年全國大學生數(shù)學建模競賽評選出的獎項有:賽區(qū)優(yōu)秀組織工作獎9個，本科組高教社杯獎1個，?？聘呓躺绫?個，本科組MATLAB創(chuàng)新獎1個，?？平MMATLAB創(chuàng)新獎1個，本科組IBMSPSS創(chuàng)新獎1個，?？平MIBMSPSS創(chuàng)新獎1個，本科組一等獎共273名，本科組二等獎共1292名，?？平M一等獎共44名，?？平M二等獎共211名［1］，但成績相對于參賽區(qū)分布不太均勻。分析各地區(qū)在2013年全國大學生數(shù)學建模競賽中取得的成績，明確各地區(qū)數(shù)學建模發(fā)展狀況的差異和特點，將有利于相關部門從宏觀上了解我國大學生數(shù)學建模競賽的整體發(fā)展現(xiàn)狀，分類制定相關政策［2－3］，從而充分發(fā)揮數(shù)學建模的重要作用。
1建立綜合評價指標體系
全國大學生數(shù)學建模競賽現(xiàn)狀的一個重要方面就是全國大學生數(shù)學建模競賽獲獎情況。依據(jù)全國大學生數(shù)學建模競賽設置的獎項，遵循可比性原則，參考文獻［4－5］，選取x1－x7共七項評價指標，具體如下:x1:本科組高教社杯、MATLAB創(chuàng)新獎和IBMSPSS創(chuàng)新獎獲獎情況;x2:本科組一等獎獲獎數(shù);x3:本科組二等獎獲獎數(shù);x4:?？平M高教社杯、MATLAB創(chuàng)新獎和IBMSPSS創(chuàng)新獎獲獎情況;x5:專科組一等獎獲獎數(shù);x6:?？平M二等獎獲獎數(shù);x7:年度競賽優(yōu)秀組織工作獎獲得情況。說明:鑒于本科組與專科組的高教社杯、MAT-LAB創(chuàng)新獎和IBMSPSS創(chuàng)新獎三類獎項每年只有一個隊獲獎，且基本不可重復獲得(參見歷年大學生數(shù)學建模競賽獲獎名單)故將其合并作為一類。
2數(shù)據(jù)資料依據(jù)
2013年全國大學生數(shù)學建模競賽獲獎名單，按指標對各個賽區(qū)的獲獎情況統(tǒng)計如表1所示。
3R型聚類分析定性分析
七項指標之間的相關性。編寫MAT-LAB程序如下:＞＞clc，clear＞＞symxy;＞＞x=xlsread(‘shuju．xls’);%將上表中的數(shù)據(jù)保存到MATLAB中WORK文件夾excel文件shu-ju．xls中，并將其賦于x＞＞y=corr(x)%輸出七項指標間的相關系數(shù)矩陣(如表2所示)＞＞d=pdist(y，’correlation’);%計算相關系數(shù)導出的距離＞＞z=linkage(d，’average’);%按類平均法聚類＞＞h=dendrogram(z);%畫聚類圖(如圖1所示)＞＞T=cluster(z，’maxclust'，5);%把變量劃分為5類＞＞fori=1:5tm=find(T==i);tm=reshape(tm，1，length(tm));＞＞fprintf(’第%d類的有%s\n’，i，int2str(tm));＞＞end程序輸出:第1類的有4;第2類的有56;第3類的有7;第4類的有23;第5類的有1。即:若將指標分為5類，則指標1、4、7各為一類，指標2、3為一類，指標4、5為一類。
4Q型聚類分析
4.1選取5個指標的分類從R型聚類分析分出的5類指標中各選一個，即選取5個指標體系，對33個參賽地區(qū)進行聚類分析。首先對變量數(shù)據(jù)進行標準化處理，采用歐氏距離度量樣本間相似性，選用類平均法計算類間距離。在MATLAB命令窗口輸入下列程序:＞＞symsxy;＞＞x=xlsread(’shuju．xls’);%將上表中的數(shù)據(jù)保存到MATLAB中WORK文件夾excel文件shu-ju．xls中，并將其賦于x＞＞x(:，［3，5］)=［］;%刪除數(shù)據(jù)矩陣的3，5兩列，即使用變量1，2，4，6，7＞＞x=zscore(x);%將數(shù)據(jù)標準化＞＞s=pdist(x);%每一行是一個對象，求對象間的歐式距離＞＞z=linkage(s，’average’);%按類平均法聚類＞＞h=dendrogram(z);%畫聚類圖(如圖2所示)＞＞T=cluster(z，’maxclust’，3);%把樣本點劃分成3類＞＞fori=1:3;tm=find(T==i);%求i類的對象tm=reshape(tm，1，length(tm));%變成行向量＞＞fprintf(’第%d類的有%s\n’，i，int2str(tm));%現(xiàn)實分類結(jié)果＞＞end程序輸出:第1類的有11318第2類的有2345678910111216171920212224252627282930313233第3類的有141523即:第一類:北京，福建，湖南;第三類:江西，山東，四川;第二類:其它地區(qū)。
4.2選取7個指標的分類考慮到指標2與指標3，指標5與指標6具有一定的獨立性，若七個指標體系全部取用，將33個地區(qū)分為4類，程序輸入如下:＞＞symsxy;＞＞x=xlsread(’shuju．xls’);＞＞s=pdist(x);＞＞z=linkage(s，’average’);＞＞h=dendrogram(z);%畫聚類圖(如圖3所示)＞＞T=cluster(z，’maxclust’，4);＞＞fori=1:4tm=find(T==i);tm=reshape(tm，1，length(tm));＞＞fprintf(’第%d類的有%s\n’，i，int2str(tm));＞＞end程序輸出:第1類的有116第2類的有6710151927第3類的有23489111213141718202223242528第4類的有521262930313233即:第一類:北京，河南;第二類:遼寧，吉林，江蘇，山東，廣東，陜西;第四類:內(nèi)蒙古，海南，，青海，寧夏，新疆，香港，澳門。4.3選取本科層次指標的分類只考慮本科層次取得的成績，即選用指標1，2，3，對33個參賽地區(qū)進行聚類分析，從而明確掌握其本科階段的差異，則有:輸入程序:＞＞symsxy;＞＞x=xlsread(’shuju．xls’);＞＞x(:，［4，5，6，7］)=［］;＞＞x=zscore(x);＞＞s=pdist(x);＞＞z=linkage(s，’average’);＞＞h=dendrogram(z);%畫聚類圖(如圖4所示)＞＞T=cluster(z，’maxclust’，3);＞＞fori=1:3;tm=find(T==i);tm=reshape(tm，1，length(tm));＞＞fprintf(’第%d類的有%s\n’，i，int2str(tm));＞＞end程序輸出:第1類的有11318第2類的有101115161719222327第3類的有2345678912142021242526282930313233即:第一類:北京，福建，湖南;第二類:江蘇，浙江，山東，河南，湖北，廣東，重慶，四川，陜西;第三類:其它地區(qū)。4.4選取?？茖哟沃笜说姆诸愔豢紤]?？茖哟稳〉玫某煽?，即選用指標4，5，6，對33個參賽地區(qū)進行聚類分析，從而明確掌握其?？齐A段的差異，則有:輸入程序:＞＞symsxy;＞＞x=xlsread(’shuju．xls’);＞＞x(:，［1:3，7］)=［］;＞＞x=zscore(x);＞＞s=pdist(x);＞＞z=linkage(s，’average’);%畫聚類圖(如圖5所示)＞＞h=dendrogram(z);＞＞T=cluster(z，’maxclust'，4);＞＞fori=1:4;tm=find(T==i);tm=reshape(tm，1，length(tm));＞＞fprintf(’第%d類的有%s\n’，i，int2str(tm));＞＞end程序輸出:第1類的有14第2類的有1523第3類的有41927第4類的有1235678910111213161718202122242526282930313233即:第一類:江西;第二類:山東，四川;第三類:山西，廣東，陜西;第四類:其余各地區(qū)。
5結(jié)束語