時(shí)間：2023-04-06 18:34:10
導(dǎo)語(yǔ)：在初中初中數(shù)學(xué)論文的撰寫(xiě)旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
在課堂上展開(kāi)合作學(xué)習(xí)，可以在課堂的任何一個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)。其中，在開(kāi)堂之后立即讓學(xué)生進(jìn)行合作探討，有利于學(xué)生明確課堂學(xué)習(xí)方向，能幫助學(xué)生找準(zhǔn)學(xué)習(xí)的要點(diǎn)。因此，開(kāi)堂合作是較為重要的一環(huán)，也是合作教學(xué)的起點(diǎn)。
1.合作探討，激發(fā)興趣在“有理數(shù)”第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)課堂上，作者在簡(jiǎn)要介紹了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容之后，將班級(jí)分成八個(gè)小組，每一個(gè)小組選出一名小組長(zhǎng)，以小組為單位探討本課的主要內(nèi)容。作者提出問(wèn)題：生活中有哪些例子可以體現(xiàn)出正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念？每一個(gè)小組可以自由討論五分鐘。五分鐘后，每一個(gè)小組派出組員來(lái)舉例說(shuō)明生活中正數(shù)和負(fù)數(shù)的例子。隨后，班級(jí)內(nèi)各小組展開(kāi)了討論，在討論的過(guò)程中，作者發(fā)現(xiàn)有些小組通過(guò)課本來(lái)找例子，有些小組依靠生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)找例子，還有些小組直接在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行了演示，課堂合作探討的氛圍很濃。五分鐘后，開(kāi)始由每一個(gè)小組派組員來(lái)舉例子。A小組舉出了溫度計(jì)的例子，B小組舉出了汽車(chē)前進(jìn)和倒車(chē)的例子，C小組舉出了人向前行走和向后倒著走的例子，該組組員還在班級(jí)即興進(jìn)行演示說(shuō)明：人前進(jìn)的距離可以看作正數(shù)，人后退的距離可以看作是負(fù)數(shù)……幾乎每一個(gè)小組都會(huì)有自己的看法和例子，開(kāi)堂合作學(xué)習(xí)探討的效果很好。
2.重視點(diǎn)評(píng)，恰當(dāng)導(dǎo)入幾個(gè)小組的舉例完畢之后，作者抓住時(shí)機(jī)，趁著學(xué)生對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念有了一定的了解和認(rèn)識(shí)之后，及時(shí)地引入第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的課本內(nèi)容。作者首先總結(jié)了八個(gè)小組的舉例，挑選了幾個(gè)比較容易分析的例子作為教學(xué)的素材來(lái)展開(kāi)教學(xué)。通過(guò)開(kāi)堂的合作探討學(xué)習(xí)方式，課堂教學(xué)的導(dǎo)入不再是教師一味地灌輸，而是由學(xué)生自由探討來(lái)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，這就更加有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)興趣，可以收到較好的學(xué)習(xí)效果。
二、課中合作，突破課程核心
初中數(shù)學(xué)教師必須要采取合理的教學(xué)方法來(lái)幫助學(xué)生有效地掌握每一章的知識(shí)要點(diǎn)，突破知識(shí)的難點(diǎn)，將每一章節(jié)的知識(shí)理解透、學(xué)習(xí)好。在課堂進(jìn)行的過(guò)程中，合理地插入一些課堂合作學(xué)習(xí)的教學(xué)活動(dòng)就顯得非常必要。
1.合作設(shè)計(jì)，突出重點(diǎn)在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”的課堂教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)前半堂課的學(xué)習(xí)，作者首先通過(guò)情境導(dǎo)入的方式，向?qū)W生導(dǎo)入本節(jié)的主要內(nèi)容是歸納目前我們接觸的不同形式的數(shù)，學(xué)生在明確了本節(jié)課的內(nèi)容之后，按照作者的提問(wèn)，初步歸結(jié)出目前所學(xué)過(guò)的數(shù)的種類(lèi)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)等。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步明確本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，鞏固重點(diǎn)知識(shí)的內(nèi)容，明確重點(diǎn)知識(shí)的框架，作者開(kāi)展了課中的合作學(xué)習(xí)活動(dòng)。把全班學(xué)生分成八個(gè)小組，每一個(gè)小組選出一名小組長(zhǎng)。作者在黑板上列出以下十個(gè)數(shù)：127，3.1416，0，2004，-85，-0.23456，10%，10.1，0.67，-89，并在這十個(gè)數(shù)的下方畫(huà)出四個(gè)圓圈，里面分別寫(xiě)著正數(shù)集合、負(fù)數(shù)集合、整數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合，要求每一組的學(xué)生將這十個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，然后挑選四個(gè)小組的同學(xué)上講臺(tái)將十個(gè)數(shù)對(duì)號(hào)入座地填入四個(gè)集合圓圈中。
2.恰當(dāng)講解，突破難點(diǎn)在學(xué)生進(jìn)行討論的過(guò)程中，作者在班級(jí)內(nèi)走動(dòng)觀察，發(fā)現(xiàn)很多小組的同學(xué)開(kāi)始展開(kāi)了討論，并在草稿本上畫(huà)出了圓圈，試著將黑板上的十個(gè)數(shù)填入四個(gè)集合圓圈中。五分鐘之后，作者隨機(jī)挑選了四個(gè)小組的同學(xué)到講臺(tái)上，將小組內(nèi)的討論結(jié)果填入到集合圓圈內(nèi)。很快，四個(gè)小組均填寫(xiě)完畢，通過(guò)檢查，四個(gè)小組的同學(xué)都正確地將這十個(gè)數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)。隨后，作者又在PPT展示出一個(gè)小組合作的題目：按照剛才對(duì)十個(gè)數(shù)的分類(lèi)，你認(rèn)為有理數(shù)應(yīng)該如何進(jìn)行分類(lèi)呢？畫(huà)出你認(rèn)為合理的分類(lèi)框架。經(jīng)過(guò)五分鐘的合作討論后，作者隨機(jī)選出四個(gè)小組的組員在黑板寫(xiě)出小組合作討論的結(jié)果，根據(jù)以上四個(gè)小組合作討論的結(jié)果，作者展開(kāi)了本課重點(diǎn)知識(shí)的講解和歸結(jié)，其中，A小組和B小組的分類(lèi)是正確的，C小組和D小組的分類(lèi)是錯(cuò)誤的，作者分別分析了A小組和B小組分類(lèi)正確的原因，同時(shí)，也深入剖析了C小組和D小組分類(lèi)錯(cuò)誤的原因。在對(duì)合作題目進(jìn)行分析講解的過(guò)程中，其實(shí)就是對(duì)本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行深入分析和總結(jié)的過(guò)程。在課堂的后半段時(shí)間中，通過(guò)這樣的合作探討學(xué)習(xí)，絕大部分學(xué)生都掌握了有理數(shù)的概念、有理數(shù)的分類(lèi)、有理數(shù)的基本框架等重點(diǎn)知識(shí)。因此，課中合作討論也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一種教學(xué)方式，依靠學(xué)生的自主探究和小組的討論合作學(xué)習(xí)，更有利于學(xué)生把握每一堂課的重點(diǎn)知識(shí)。與此同時(shí)，教師只要做好引導(dǎo)、總結(jié)工作，數(shù)學(xué)知識(shí)就可以很好地教授給學(xué)生們了。
三、課尾合作，加強(qiáng)成果鞏固
幾何畫(huà)板在幾何知識(shí)的教學(xué)中同樣有著非常好的應(yīng)用．幾何畫(huà)板不僅能夠清晰地呈現(xiàn)各種幾何圖形，而且應(yīng)用起來(lái)十分靈活，教師可以隨時(shí)改變圖象以及圖形中幾何體的位置關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行思考．幾何畫(huà)板和常規(guī)的多媒體教具有著一些本質(zhì)差異．多媒體課件一般設(shè)計(jì)完成后就不能再變更，幾何畫(huà)板則不一樣，教師可以依據(jù)具體的教學(xué)情況、學(xué)生的思維以及知識(shí)的發(fā)散等靈活地進(jìn)行圖形的變換．這不僅能夠豐富課堂教學(xué)，也能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)有更為深入的理解與更加靈活的應(yīng)用實(shí)踐．例如，在講“勾股定理”時(shí)，教學(xué)的難點(diǎn)就在于證明勾股定理．教師可以應(yīng)用幾何畫(huà)板，引入“勾三股四弦五”的計(jì)算方法，在黑板上直接畫(huà)出三個(gè)正方形，讓學(xué)生探究這三個(gè)正方形的關(guān)系，在引導(dǎo)學(xué)生判斷正方形面積的大小過(guò)程中，進(jìn)一步讓學(xué)生理解三角形三邊之間的關(guān)系．在幾何畫(huà)板作圖的過(guò)程中，充分發(fā)揮了“度量面積”的功能．通過(guò)計(jì)算正方形的面積，教師可以驗(yàn)證勾股定理的準(zhǔn)確性，并利用趙爽弦圖，引導(dǎo)學(xué)生加以推算證明．這些都體現(xiàn)了幾何畫(huà)板在幾何知識(shí)教學(xué)中的優(yōu)越性，合理地利用幾何畫(huà)板對(duì)于課堂教學(xué)效率的提升同樣有著積極的推動(dòng)作用．
二、在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往會(huì)涉及一些數(shù)據(jù)分析與處理的內(nèi)容．在這部分知識(shí)的教學(xué)中，幾何畫(huà)板同樣能夠起到很好的效用．?dāng)?shù)據(jù)的分析與處理能力是一種非常重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生具備的一種重要技能．不少學(xué)生在面對(duì)龐雜且無(wú)規(guī)律的數(shù)據(jù)時(shí)，都會(huì)覺(jué)得找不到頭緒，讓他們對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析更是十分困難．有了幾何畫(huà)板后，能夠有效地給予學(xué)生引導(dǎo)，尤其是利用“制表”功能，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確收集和有效統(tǒng)計(jì)，并且能迅速找出其中規(guī)律，這對(duì)于學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)與提升有很大的幫助．?dāng)?shù)學(xué)中有許多問(wèn)題需要收集數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，學(xué)生通過(guò)工具測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，借助幾何畫(huà)板則能夠準(zhǔn)確地收集、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從而迅速找出其中的規(guī)律所在．例如，在探索“三角形內(nèi)角和公式”時(shí)，讓學(xué)生畫(huà)任意的三角形，再進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算，由于量角器測(cè)量存在誤差，不一定能驗(yàn)證定理，可以在學(xué)生探索后，再用幾何畫(huà)板產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證．這個(gè)過(guò)程往往能夠幫學(xué)生較為準(zhǔn)確地找出其中隱藏的一些規(guī)律，并且?guī)椭鷮W(xué)生更好地認(rèn)識(shí)三角形內(nèi)角和的公式．這對(duì)于知識(shí)教學(xué)能夠起到積極的推動(dòng)作用．
三、總結(jié)
其實(shí)數(shù)學(xué)題型萬(wàn)變不離其宗，雖然數(shù)學(xué)題型有很多，但是考查的知識(shí)點(diǎn)卻是有限的．所以我們應(yīng)該從復(fù)雜的題型中概括出熟悉的知識(shí)點(diǎn)和熟悉的解題步驟，這樣才能找到解題的思路，獲得解題的技巧．初中數(shù)學(xué)試卷往往是最后一道題作為整套卷子的壓軸題，初中生在面對(duì)最后一道題時(shí)往往會(huì)望而卻步，即使并不是太難，但是也不容易找到解題的途徑，究其原因大都是因?yàn)檫@些題目對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)比較生疏．所以針對(duì)這種問(wèn)題就要求教師在日常教學(xué)過(guò)程中向?qū)W生滲透化歸思想，讓學(xué)生在做題時(shí)把陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的題型，用不變應(yīng)萬(wàn)變，利用原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理難題．
二、運(yùn)用化歸思想，化抽象為具體
要想熟練的掌握化歸思想還需要在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采取迂回的戰(zhàn)術(shù)而不是對(duì)問(wèn)題直接的進(jìn)行攻擊，要通過(guò)變形把要解決的問(wèn)題處理好．在化歸思想中需要化抽象為具體，把復(fù)雜的問(wèn)題和抽象的題型通過(guò)這種化歸思想轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的問(wèn)題，具體的問(wèn)題．教師在教學(xué)過(guò)程中需要培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)，在學(xué)生遇到難懂的問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生采取這種方法，把抽象的題型劃分成小部分，按照步驟各個(gè)突破．把抽象化為具體是初中數(shù)學(xué)化歸思想的重要體現(xiàn)，所以要求教師在課堂教學(xué)講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)注意對(duì)這種思想的滲透，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)方法時(shí)也需要根據(jù)學(xué)生的需要，迎合學(xué)生的心理需求，同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)化歸思想的能力，不止在平常的數(shù)學(xué)做題中，還需要針對(duì)具體的生活問(wèn)題運(yùn)用相應(yīng)的化歸思想．因?yàn)閿?shù)學(xué)是來(lái)源于生活的，我們需要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)到的思想運(yùn)用到生活實(shí)際中，通過(guò)轉(zhuǎn)變自身的思維，達(dá)到化歸思想的最大運(yùn)用效果．
三、運(yùn)用化歸思想，化一般為特殊
在數(shù)學(xué)題型中有相對(duì)比較特殊的題型，這就需要教師在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行思考，因?yàn)?ldquo;特殊寓于一般之中”，一般情況解決之后，我們可以從一般解題思路中找到比較特殊的解題思想，從而在普遍的解題思想中受到啟發(fā)，更好地解決數(shù)學(xué)難題．
四、結(jié)語(yǔ)
學(xué)生的認(rèn)知水平雖然有高有低，但是每人都各有自己的優(yōu)勢(shì)。在教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生不同的優(yōu)勢(shì)，增加不同思維碰撞的機(jī)會(huì)，使學(xué)生能夠更全面、更具體地理解知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生相互之間取長(zhǎng)補(bǔ)短，做到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。例如在課堂提問(wèn)的活動(dòng)中，教師就可以結(jié)合學(xué)生的能力、成績(jī)和智力，將學(xué)生分為不同的類(lèi)型，給予適當(dāng)?shù)膯?wèn)題予以回答，對(duì)于基礎(chǔ)稍微差一點(diǎn)的學(xué)生，教師就可以從基本的概念出發(fā)，讓學(xué)生回顧概念中的幾個(gè)要點(diǎn)，查看學(xué)生對(duì)概念的理解情況；對(duì)于基礎(chǔ)中等的學(xué)生，教師就可以向其拋出中等問(wèn)題，幫助其深層地理解概念的內(nèi)涵，逐步地掌握一般的做題方法；對(duì)于程度較好的學(xué)生，教師就可以提問(wèn)一些實(shí)際的問(wèn)題，使學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用時(shí)能夠靈活自如，可以選擇較便捷的做題方法。在實(shí)際教學(xué)中，教師不僅要了解學(xué)生的成績(jī)、認(rèn)知程度，更要了解學(xué)生的個(gè)性、思維習(xí)慣，對(duì)班里每個(gè)學(xué)生的個(gè)性做到心中有數(shù)，這樣才能落實(shí)好“因材施教”。通過(guò)學(xué)生的分層，使教師掌握了班里每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況，從而能夠快速地幫助學(xué)生找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。
二、授課分層，建立過(guò)程梯度化
同樣的問(wèn)題，每個(gè)學(xué)生的困惑點(diǎn)可能大有不同。面對(duì)問(wèn)題，教師要避免自己灌輸式地講述，先讓學(xué)生闡述自己對(duì)問(wèn)題的理解和困惑，針對(duì)不同學(xué)生的思維障礙進(jìn)行交流討論，對(duì)不同的學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)不同的指導(dǎo)，以做到對(duì)癥下藥。例如在學(xué)習(xí)有關(guān)“倒數(shù)”的知識(shí)時(shí)，教師就可以通過(guò)問(wèn)題來(lái)建立知識(shí)分層，引導(dǎo)學(xué)生的自學(xué)探討，對(duì)倒數(shù)的概念有一個(gè)簡(jiǎn)單地理解，通過(guò)不同層次學(xué)生的回答來(lái)掌握學(xué)生的理解情況；然后引導(dǎo)學(xué)生找出概念中的關(guān)鍵詞重點(diǎn)理解，學(xué)生在反復(fù)斟酌下能夠找到“兩個(gè)數(shù)、乘積是1、互為倒數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，從而逐步理解了互為倒數(shù)所滿足的條件，從中總結(jié)出了一般的做題方法；然后展開(kāi)相應(yīng)的練習(xí)，讓學(xué)生兩個(gè)人相互提問(wèn)，展開(kāi)對(duì)倒數(shù)的練習(xí)；在學(xué)生之間的不斷提問(wèn)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)特殊的數(shù)字“1和0”，從而推進(jìn)了學(xué)生的深層探究，使學(xué)生得到了“1的倒數(shù)是1，0沒(méi)有倒數(shù)”的結(jié)論。通過(guò)這樣的授課分層，使每個(gè)學(xué)生都能夠從基礎(chǔ)開(kāi)始學(xué)起，在課堂練習(xí)中自主的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
三、作業(yè)分層，結(jié)合能力差異化
作業(yè)布置要充分考慮學(xué)生的個(gè)體能力，教師要充分地考慮課堂內(nèi)容所涉及到的知識(shí)點(diǎn)，建立易、中、難三種類(lèi)型的作業(yè)題，使每個(gè)學(xué)生都能找到適合自己發(fā)展的類(lèi)型，既要讓學(xué)生掌握課堂所講的知識(shí)，又進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。例如在學(xué)習(xí)“解二元一次方程組”時(shí)，教師就可以從幾個(gè)方面來(lái)布置作業(yè)，先給學(xué)生留一些像“x+y=25，x=y+6”這樣的簡(jiǎn)單方程組，以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)一般解題方法的掌握，練習(xí)一般的代入法及計(jì)算；然后留一些像“3x+y=8，2x+3y=10”的方程組，讓學(xué)生使用帶入法的同時(shí)，可以進(jìn)行革新，嘗試著找出其中某一個(gè)未知數(shù)的最小公倍數(shù)，再利用消元的方法變?yōu)橐辉淮畏匠淌絹?lái)求解，以靈活學(xué)生的做題方法，這樣逐步建立解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)；最后上升到利用二元一次方程組解決應(yīng)用題，讓學(xué)生嘗試用二元一次方程組來(lái)解決生活中的問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力和實(shí)踐應(yīng)用能力。通過(guò)這樣的作業(yè)分層，可以使學(xué)生逐步地理解二元一次方程式的解法和應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)。學(xué)生在問(wèn)題解決環(huán)節(jié)，有針對(duì)性地傾聽(tīng)、理解，提高了獨(dú)立完成作業(yè)的能力。
四、激勵(lì)分層，提高學(xué)習(xí)主動(dòng)化
1．個(gè)案1—由失敗中獲取有用的信息
例1若a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．
解：由等比定理得
x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a）
①
＝（x＋y＋z）／［（a－b）＋（b－c）＋（c－a）］．
②
但是，②式的分母為零
（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，
③
我們的解題努力失敗了．
評(píng)析：這是一個(gè)失敗的解題案例，文［3］談到了調(diào)整解題方向后的一些處理，其實(shí)都用到③式．所以，失敗的過(guò)程恰好顯化了題目的一個(gè)隱含條件，這是一個(gè)積極的收獲，當(dāng)我們將不成功的②式去掉，把目光同時(shí)注視①式與③式時(shí)，①式使我們看到了兩條直線重合：
xX＋yY＋z＝0，
④
（a－b）X＋（b－c）Y＋（c－a）＝0．
⑤
而③式又使我們看到了直線⑤通過(guò)點(diǎn)
X＝1，
Y＝1．
作一步推理，直線④也通過(guò)點(diǎn)（1，1），于是
x＋y＋z＝0．
與文［3］相比，這是一個(gè)不無(wú)新意的解法，其誕生有賴于兩點(diǎn)：
第1，從失敗的解題中獲取一條有用的信息，即③式．
第2，對(duì)①式、③式都作“著眼點(diǎn)的轉(zhuǎn)移”，從解析幾何的角度去看它們．
有了這兩步，剩下來(lái)的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成．
2．個(gè)案2—尚未成功不等于失敗
設(shè)f（n）為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列，M為大于f（1）的正常數(shù)，當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證不等式
f（n）＜M（n∈N）
①
時(shí)，其第2步會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)f（k）＜M，則
f（k＋1）＝f（k）＋a（a＝f（k＋1）－f（k）＞0）＜M＋a，
②
無(wú)法推出f（k＋1）＜M．
據(jù)此，許多人建議，用加強(qiáng)命題的辦法來(lái)處理，還有人得出這樣的命題（見(jiàn)文［4］P．32及文［5］P．12）：
命題設(shè)｛f（n）｝為關(guān)于n的正項(xiàng)遞增數(shù)列，M為正常數(shù)，則不等式f（n）＜M（n∈N）不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明．
評(píng)析：不等式①?zèng)]能用遞推式②證出來(lái)，有兩種可能，其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足，其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng)．把“不會(huì)用”當(dāng)作“不能用”，其損失是無(wú)法彌補(bǔ)的．
我們分析上述處理的“尚未成功”，關(guān)鍵在于遞推式②，這促使我們思考：f（k＋1）與f（k）之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎？
確實(shí)，有的函數(shù)式其f（k＋1）與f（k）之間的關(guān)系很復(fù)雜，無(wú)法用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)直接證明；而有的關(guān)系則較簡(jiǎn)單，僅用加減乘除就可以表達(dá)出來(lái)．但無(wú)論是“很復(fù)雜”還是“較簡(jiǎn)單”，其表達(dá)式都未必惟一，文［6］P．278給出過(guò)一個(gè)反例，說(shuō)明上述“命題”不真：
例2用數(shù)學(xué)歸納法證明
f（n）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2n－1）＜2．
講解：當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立．
現(xiàn)假設(shè)f（k）＜2，則
f（k＋1）＝f（k）＋（1／2k）＜2＋（1／2k），
由于2＋（1／2k）恒大于2，所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功．
然而，這僅是“方法使用不當(dāng)”．換一種遞推方式，證明并不困難．
f（k＋1）＝1＋（1／2）f（k）＜1＋（1／2）×2＝2．
下面一個(gè)反例直接取自文［4］的例2．
例3求證（1／1?。?／2?。?／3?。?／n?。?．
證明：當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立．
假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，則
（1／1?。?／2！）＋…＋（1／k?。?／（k＋1）！］
＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／k）·［1／（k－1）?。荩?／（k＋1）］·（1／k！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2?。?／（k－1）?。荩?／k?。?＋（1／2）×2＝2．
這表明n＝k＋1時(shí)命題成立．
由數(shù)學(xué)歸納法知，不等式已獲證．
3．個(gè)案3—對(duì)尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思
文［7］有很好的立意也有很好的標(biāo)題，叫做“反思通解·引出簡(jiǎn)解·創(chuàng)造巧解”，它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過(guò)程：
例4二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，0），是否存在常數(shù)a、b、c使不等式
x≤f（x）≤（x2＋1）／2
①
對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a、b、c；若不存在，說(shuō)明理由．
講解：作者從解兩個(gè)二次不等式
（x2＋1）／2－f（x）≥0，
f（x）－x≥0．
開(kāi)始（解法1），經(jīng)過(guò)數(shù)形結(jié)合的思考（解法2）等過(guò)程，最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”（解法4）：由基本不等式
（x2＋1）／2≥（x＋1）／22≥x
②
對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，猜想
f（x）＝（x＋1）／22．
③
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）滿足條件f（－1）＝0，所以f（x）存在，a＝（1／4），b＝（1／2），c＝（1／4）．
我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”，按慣例，“若存在，求出a、b、c”應(yīng)該理解為“若存在，求出一切a、b、c”．從這一意義上來(lái)看上述巧解，那就存在一個(gè)明顯的邏輯疑點(diǎn)：誠(chéng)然，③式是滿足①的一個(gè)解，但是在x與（x2＋1）／2之間的二次函數(shù)很多，如
f1（x）＝（1／2）x＋（1／2）（x2＋1）／2，
f2（x）＝（1／3）x＋（2／3）（x2＋1）／2，
f3（x）＝（1／4）x＋（3／4）（x2＋1）／2，
……
這當(dāng)中有的經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，0），有的不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，0），巧解已經(jīng)驗(yàn)證了f1（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，0）從而為所求，我們的疑問(wèn)是：怎見(jiàn)得其余的無(wú)窮個(gè)二次函數(shù)就都不過(guò)點(diǎn)（－1，0）呢？
也就是說(shuō)，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”．究其原因，是未找出x與（x2＋1／2）之間的所有的二次函數(shù)．抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考，我們想到定比分點(diǎn)公式，①式可以改寫(xiě)為
f（x）＝｛［（x2＋1）／2］＋λx｝／（1＋λ）（λ＞0），
④
或f（x）＝λ（x2＋1）／2＋（1－λ）x（0＜λ＜1）．⑤
一般情況下λ應(yīng)是x的正值函數(shù)（文［8］默認(rèn)λ為常數(shù)是不完善的；同樣，2000年高考理科第20題（2），對(duì)cn＝an＋bn設(shè)
an＝cncos2θ，
bn＝cnsin2θ
是錯(cuò)誤的），但由于f（x）為二次函數(shù)，λ只能為常數(shù)．為了在④中求出λ，把f（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．
②式與④式的不同，反映了特殊與一般之間的區(qū)別，反映了“驗(yàn)證”與“論證”之間的區(qū)別．其實(shí)，原［解法1］出來(lái)之后，立即就可以得出②式，與是否應(yīng)用“基本不等式”無(wú)關(guān)．同樣，原［解法1］中作者思考過(guò)的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個(gè)問(wèn)題．這種種情況說(shuō)明，我們不僅要對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行反思，而且要對(duì)“反思”進(jìn)行再反思．下面一個(gè)解法請(qǐng)讀者思考錯(cuò)在哪里？
解：已知條件等價(jià)于存在k＜0，使
［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝k≤0，
把x＝－1時(shí)，f（x）＝0代入得k＝－1，
從而［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝－1，
即f2（x）－［（x＋1）2／2］f（x）＋（x3＋x＋2）／2＝0．
由此解出的f（x）為無(wú)理函數(shù)，不是二次函數(shù)，所以本題無(wú)解．
作為對(duì)反思進(jìn)行再反思的又一新例證，我們指出文［9］例2（即1997年高考難題）第1問(wèn)，可以取λ＝a（x2－x）∈（0，1）（λ是x的函數(shù)），則
f（x）＝a（x1－x）（x2－x）＋x
＝λx1＋（1－λ）x，
據(jù)定比分點(diǎn)的性質(zhì)有x＜f（x）＜x1．
1羅增儒．解題分析—解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)？中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，1～2
2羅增儒．解題分析—再談自己的解題愚蠢．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，4
3羅增儒．解題分析—人人都能做解法的改進(jìn)．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998．7
4李宗奇．調(diào)控函數(shù)及其應(yīng)用．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2000，3
5王俊英．一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法能否使用問(wèn)題的判定．中學(xué)數(shù)學(xué)，1987，9
6羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論．西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997，6
7曹軍．反思通解·引出簡(jiǎn)解·創(chuàng)造巧解．中學(xué)數(shù)學(xué)，2000，6
2014年中考數(shù)學(xué)大綱中這樣闡述了命題的原則：“體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)理念，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，全面落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所設(shè)立的課程目標(biāo)；有利于改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)效率；有利于高中階段學(xué)校綜合有效評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況?！痹谝酝慕虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)中都是“填塞式”的數(shù)學(xué)教學(xué)，只給學(xué)生大量的數(shù)學(xué)公式以及大量的聯(lián)系題型，題海戰(zhàn)術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中以讓屢見(jiàn)不鮮。但像數(shù)學(xué)這樣具有高邏輯思維的科學(xué)學(xué)科需要的是對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解和融會(huì)貫通，是需要學(xué)生們進(jìn)行一些思考來(lái)獲得。數(shù)學(xué)知識(shí)的教授，學(xué)生若能明白其中的巧妙之處，就能對(duì)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)理解達(dá)到自然而然，水到渠成的程度。所以，我們要改變教學(xué)理念，更多發(fā)掘?qū)W生們的創(chuàng)新思維，質(zhì)疑思維，更多鍛煉他們的邏輯思維，然他們理性的面對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)。在試題命題中靈活出題，更多體現(xiàn)新的教學(xué)理念。比如充分利用課本習(xí)題：我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右下表，此表揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；……根據(jù)以上規(guī)律，展開(kāi)式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為:這樣的題型來(lái)自課本但同樣有其新意。
二、重視學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問(wèn)題能力的發(fā)展，并作出有益的評(píng)價(jià)
在思考教師在改進(jìn)自己的教學(xué)理念時(shí)，我們也會(huì)考慮到，學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問(wèn)題能力的發(fā)展。除了基本知識(shí)點(diǎn)的教授，教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考更多的解題方式。如三角函數(shù)的解題，除了最基本的解法，有沒(méi)有其他的解題思路可以向?qū)W生提出這樣的問(wèn)題。也可以多結(jié)合生活實(shí)例，將所教的基本數(shù)學(xué)知識(shí)用于解決生活問(wèn)題，由學(xué)生來(lái)提供給思路。例如學(xué)了概率統(tǒng)計(jì)后，提問(wèn)同學(xué)們我們可以再生活中運(yùn)用到哪些需要我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和概率計(jì)算的地方？舉出實(shí)例后，要求同學(xué)們實(shí)際去進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算、測(cè)量的過(guò)程中記錄具體的操作過(guò)程，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程出現(xiàn)的問(wèn)題，在課堂中與同學(xué)、老師交流討論?？傊褪翘峁W(xué)生跟多的機(jī)會(huì)去思考，去真正運(yùn)用所學(xué)來(lái)解決問(wèn)題。也要教師的命題充滿實(shí)際解決的意味，如出題為：?街心花園有一塊長(zhǎng)為a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要加長(zhǎng)2米，東西方向要縮短2米。問(wèn)改造后長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？
三、體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，教學(xué)面向全體學(xué)生，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的發(fā)展
初中數(shù)學(xué)的教育要體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，中考考試也應(yīng)該體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)。要關(guān)注全體的學(xué)生，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的發(fā)展。從不同的特性出發(fā)，有針對(duì)性的教學(xué)，比如一些天生邏輯思維很強(qiáng)的學(xué)生，教師及要針對(duì)這樣的學(xué)生對(duì)給與一些新的思維點(diǎn)，幫他們延展擴(kuò)充課外知識(shí)。而對(duì)于邏輯性不強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有一定的困難的學(xué)生，教師要給與更多的耐心，幫助他們認(rèn)真了解解題方式，靈活運(yùn)用教授的方法，從多個(gè)不同角度提供解題思路，讓學(xué)生有興趣學(xué)下去并且樂(lè)于學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題。同時(shí)不要忘了多對(duì)他們進(jìn)行鼓勵(lì)，給予更多信心。教師在出題時(shí)也要體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，面向全體學(xué)生，命題方向是大家所熟悉的日常生活中的，如：命題2001年某省體育事業(yè)成績(jī)顯著，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在有關(guān)大賽中獲得獎(jiǎng)牌數(shù)如右表所示(單位：枚)如果只獲得1枚獎(jiǎng)牌的選手有57人，那么榮獲3枚獎(jiǎng)牌的選手最多有多少人？
四、試題的考查要體現(xiàn)其公平性，科學(xué)合理地制定參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，尊重不同的解答方式和表現(xiàn)形式
在中考試題的考察中，教師要在平時(shí)的教學(xué)聯(lián)系中題型公平性，科學(xué)合理地制定參考答案，同時(shí)尊重不同的解題方式和表現(xiàn)形式。試題考察時(shí)靈活編寫(xiě)出的，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)若能真正融會(huì)貫通，那么他的解題思維和解題方式就可以有很多種，這樣我們的標(biāo)準(zhǔn)答案就要科學(xué)、靈活適用。如教師命題：一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過(guò)程中路程隨時(shí)間變化的圖像．
根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：
（1）在輪船快艇中，哪一個(gè)的速度較大？
（2）當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，快艇在輪船的后面？當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，快艇在輪船的前面？
（3）問(wèn)快艇出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間趕上輪船有的學(xué)生他的解題方式不是常規(guī)的方式，但同樣能運(yùn)用來(lái)解題，或許還是最為簡(jiǎn)便的一種解題方式，教師就應(yīng)該判其正確，并鼓勵(lì)他們更多這樣進(jìn)行思考。不能用標(biāo)準(zhǔn)把所有學(xué)生都“標(biāo)準(zhǔn)化”，而是讓他們靈活發(fā)展，在數(shù)學(xué)的世界里自由翱翔，在中考的考試中游刃有余。
五、讓試題背景具有現(xiàn)實(shí)性，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)
中考試題的命題背景要具有現(xiàn)實(shí)性，要輻射學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)。初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用在實(shí)際生活中可謂應(yīng)用的最為廣泛，初中數(shù)學(xué)秉承義務(wù)教育的宗旨，要對(duì)全體學(xué)生基本生活教育進(jìn)行教授，這樣自然也包括了數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。所以教師在進(jìn)行試題命題時(shí)，要考慮到試題背景的現(xiàn)實(shí)性，讓我們的試題也來(lái)源于我們生活中常常會(huì)用到的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的情況。例如某校長(zhǎng)暑假將帶領(lǐng)該校市級(jí)“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行社說(shuō)：“如果校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則其余的學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠.”乙旅行社說(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)全部按票價(jià)的六折優(yōu)惠.”若全票價(jià)為240元，兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，根據(jù)“三好學(xué)生”的人數(shù)你認(rèn)為選擇哪一家旅行社才比較合算。對(duì)試題的命題要符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，對(duì)于其他學(xué)科也要有所聯(lián)系。若能有效結(jié)合這些方面，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)才能真正對(duì)他們有用，教師的教學(xué)目的也才算真正達(dá)到。
六、加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維水平與思維特征的考查
中考數(shù)學(xué)的考察，一定要注意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維水平與思維特征的考察。中考試題的命題過(guò)程要考慮到學(xué)生的思維特點(diǎn)。教師在平時(shí)的試題練習(xí)過(guò)程中，要選擇靈活性大，基礎(chǔ)知識(shí)考察準(zhǔn)確的試題給學(xué)生們進(jìn)行練習(xí)。讓學(xué)生們的解題思維體現(xiàn)在練習(xí)題中，教師從學(xué)生們所做的練習(xí)中發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的思維水平和思維特征，然后有針對(duì)性的引導(dǎo)和培養(yǎng)。在讓他們掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)鍛煉他們的思維方式，竭力提高他們的思維水平。這是對(duì)他們數(shù)學(xué)考試的培訓(xùn)，也是對(duì)學(xué)生們思維方式，解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。
七、結(jié)語(yǔ)
良好的開(kāi)端是成功的一半。教師講課時(shí)，精彩有趣的導(dǎo)入會(huì)吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。因此，教師在上課前一定要抓住學(xué)生的特點(diǎn)和愛(ài)好，根據(jù)所講內(nèi)容，設(shè)計(jì)好新課的導(dǎo)入。比如，教師可以用名人名言、名人趣事、科學(xué)見(jiàn)聞或者來(lái)自于生活的順口溜等導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這樣，學(xué)生會(huì)感覺(jué)到數(shù)學(xué)課原來(lái)也和社會(huì)生活息息相關(guān)，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，將注意力集中到課堂上來(lái)，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。例如，我在講《圓》那一章時(shí)，問(wèn)學(xué)生知不知道祖沖之，學(xué)生興趣盎然，紛紛表示在歷史課上學(xué)到過(guò)有關(guān)他的介紹。于是，我便趁機(jī)和學(xué)生講了祖沖之的故事以及他為我國(guó)數(shù)學(xué)做出的貢獻(xiàn)。學(xué)生聽(tīng)得很認(rèn)真，帶著對(duì)祖沖之的興趣，開(kāi)始了對(duì)圓的有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)。這樣的導(dǎo)入不僅激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷。此外，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，我曾經(jīng)讓學(xué)生剪紙，讓學(xué)生準(zhǔn)備一張紙，自己剪出梯形、等腰三角形、直角三角形以及菱形等圖形，并從直覺(jué)上判斷出它們的邊、高，從而熟練地掌握這些圖形的面積的計(jì)算。這樣的開(kāi)場(chǎng)白，不僅營(yíng)造了良好的教學(xué)情境，還成為啟迪學(xué)生思維、強(qiáng)化學(xué)生記憶和培養(yǎng)學(xué)生能力的“催化劑”。
二、精心設(shè)計(jì)課堂提問(wèn)是搞好課堂教學(xué)管理的主要途徑
有效的課堂教學(xué)管理還體現(xiàn)在課堂提問(wèn)上。課堂提問(wèn)要面向全體學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都感覺(jué)到自己沒(méi)有被忽視、被遺忘，都能發(fā)現(xiàn)自己的閃光點(diǎn)。課堂提問(wèn)是一門(mén)藝術(shù)，更是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。有經(jīng)驗(yàn)的教師的課堂提問(wèn)巧妙、到位，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，對(duì)基礎(chǔ)不好的學(xué)生提問(wèn)，教師要注意問(wèn)題的基礎(chǔ)性，問(wèn)題要偏容易些。這樣，他們會(huì)獲得一種成功感，一旦學(xué)生有了這種感覺(jué)，他們的精力和注意力就會(huì)格外集中。尤其是教師在講課的過(guò)程中，千萬(wàn)不能提太難的問(wèn)題，這樣既浪費(fèi)了課堂上的時(shí)間，還會(huì)大大影響學(xué)生的自信，使學(xué)生產(chǎn)生一種挫敗感。另外，教師在課堂教學(xué)中還應(yīng)注意提問(wèn)的語(yǔ)氣、方法和技巧，以增強(qiáng)學(xué)生的自信心。如果學(xué)生答不上來(lái)，教師要多鼓勵(lì)，千萬(wàn)不能懲罰或訓(xùn)斥，否則會(huì)適得其反。
三、突出學(xué)生的主體地位是搞好課堂教學(xué)管理的重要條件
人人都有表現(xiàn)欲，尤其是剛升入初中的學(xué)生，他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性都很高。因此，為了得到更好的課堂教學(xué)管理效果，教師要多組織學(xué)生進(jìn)行合作探究式學(xué)習(xí)，突出學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮他們的能動(dòng)性。教師要精心安排和組織，比如，建立課堂討論小組和學(xué)習(xí)互助組等，爭(zhēng)取讓每個(gè)學(xué)生都積極參與到教學(xué)當(dāng)中去。例如，我通常在講了一個(gè)題型后，便組織學(xué)生在小組內(nèi)自己出題，然后交換來(lái)做，看看誰(shuí)出的題新穎準(zhǔn)確，比比誰(shuí)做得既快又好。這樣，一下子就調(diào)動(dòng)起了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高了每一個(gè)學(xué)生的參與度，既考查了學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的掌握情況，又培養(yǎng)了他們良好的競(jìng)爭(zhēng)與合作意識(shí)。
四、合理的評(píng)價(jià)是搞好課堂教學(xué)管理的有力保障
課堂教學(xué)中，合理的教學(xué)評(píng)價(jià)起著很重要的作用，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能增強(qiáng)學(xué)生的自信。初中學(xué)生雖然年齡小，但也很愛(ài)面子。隨著素質(zhì)教育的實(shí)施和深入，課堂教學(xué)評(píng)價(jià)也應(yīng)有所改變，應(yīng)立足于學(xué)生的發(fā)展，突出學(xué)生的主體地位，增強(qiáng)學(xué)生的自信。課堂教學(xué)中，教師不僅是知識(shí)的傳授者，還應(yīng)是組織者和引導(dǎo)者，在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)，既要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能的掌握，又要關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。教師要經(jīng)常使用鼓勵(lì)性的語(yǔ)言，比如，“你再試一下，會(huì)得到意想不到的效果?！薄澳阋呀?jīng)不錯(cuò)了，再認(rèn)真思考一下?！薄澳阏姘?！”這些語(yǔ)言的使用會(huì)大大增強(qiáng)學(xué)生的自信，幫助學(xué)生掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。
翻開(kāi)新教材，圖文并貌的版面定會(huì)讓你耳目一新，仿佛置身于現(xiàn)實(shí)生活之中，許多例題、習(xí)題都是曾經(jīng)親身體驗(yàn)過(guò)的生活經(jīng)驗(yàn)。這些源于生活經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容無(wú)不訴說(shuō)著讀者與現(xiàn)實(shí)世界的天然關(guān)系，從而使抽象的數(shù)學(xué)變成了具體的可以感知的經(jīng)驗(yàn)。
1.1有關(guān)數(shù)與代數(shù)
從新教材對(duì)于七年級(jí)上冊(cè)有理數(shù)和八年級(jí)上冊(cè)實(shí)數(shù)這兩章的處理方式，我們可以清楚地看到新教材對(duì)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注。在有理數(shù)這一章以“數(shù)怎么不夠用了”開(kāi)篇，從海拔、天氣預(yù)報(bào)中的負(fù)數(shù)等身邊的生活經(jīng)驗(yàn)引入負(fù)數(shù)的概念及其意義。對(duì)于有理數(shù)的運(yùn)算，則讓學(xué)生借助已有的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)歸納、類(lèi)比等方式自己去獲得有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算率。對(duì)于實(shí)數(shù)這一章，新教材創(chuàng)造性地將其安排在“勾股定理”之后，目的就是借助于勾股定理的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)有一種感性的認(rèn)識(shí)，使他們自發(fā)地去擴(kuò)大數(shù)的范圍---尋找實(shí)數(shù)。
代數(shù)內(nèi)容的開(kāi)始是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境，讓學(xué)生回顧生活中解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們自然而然地接觸、使用代數(shù)符號(hào)，以感受其產(chǎn)生的必要性和作用。七年級(jí)上冊(cè)第三章第一節(jié)就是“字母能表示什么”，從日常經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞酵怀隽藬?shù)學(xué)源于經(jīng)驗(yàn)、源于解決問(wèn)題的實(shí)際需要。其實(shí)，數(shù)學(xué)中的函數(shù)和方程的處理也均是從發(fā)生在學(xué)生的身邊的現(xiàn)象、問(wèn)題等入手的。
1.2關(guān)于圖形與空間
新教材的編制，突破了立體圖形、立體幾何屬于高中專屬的傳統(tǒng)，并大膽的將蓋章內(nèi)容放在了七年級(jí)上冊(cè)第一章；教材在辯證的分析了邏輯關(guān)系和形式關(guān)系的基礎(chǔ)上，確立了理解邏輯關(guān)系是數(shù)學(xué)推理證明的核心。“鼓勵(lì)學(xué)生首先使用具體的、形象化的經(jīng)驗(yàn)中的自然語(yǔ)言表達(dá)相應(yīng)的邏輯關(guān)系，規(guī)范的形式化證明則稍侯進(jìn)行[2]”。這與該階段學(xué)生認(rèn)知心理的發(fā)展極為吻合。
1.3關(guān)于統(tǒng)計(jì)和概率
統(tǒng)計(jì)是源于生活經(jīng)驗(yàn)，依托于生活經(jīng)驗(yàn)，離開(kāi)了實(shí)際背景、特定的含義它是沒(méi)有任何意義的符號(hào)。新教材采取了設(shè)立實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生運(yùn)用周邊熟悉的事、物以及經(jīng)驗(yàn)等，從不同的角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行感受、估計(jì)和處理。時(shí)空的引導(dǎo)學(xué)生從自己的經(jīng)驗(yàn)中尋找身邊的不確定的現(xiàn)象；這樣激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)，更大程度上與新課標(biāo)接軌。
2教材資源的不足
雖然教材中數(shù)學(xué)史知識(shí)和課程內(nèi)容結(jié)合的比較緊密，但我認(rèn)為有一些材料的處理仍有值得改進(jìn)的地方。
2.1教材偏向男性
對(duì)于數(shù)學(xué)方面有貢獻(xiàn)的女性僅有一例（七年級(jí)下冊(cè)第208頁(yè)“剪紙中的對(duì)稱”）?？紤]到某些數(shù)學(xué)活動(dòng)不應(yīng)該是男人的專利，也應(yīng)該有些部分是由女性來(lái)從事的[3]。側(cè)面的忽視了性別的重要性；從我國(guó)的傳統(tǒng)文化來(lái)講，制約中國(guó)已久的男尊女卑的封建思想是不是又在一定程度上又影響著學(xué)生呢?
2.2習(xí)題的死板
從課堂練習(xí)、課后習(xí)題的設(shè)計(jì)來(lái)看，新教材難免又落入了應(yīng)試教育的窠臼。不可否認(rèn)部分練習(xí)、習(xí)題或多或少地還是顧及到了與經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，然而這里面需要說(shuō)明的是:每節(jié)的習(xí)題或者每章的復(fù)習(xí)題中所引入的生活經(jīng)驗(yàn)與每章節(jié)前面的經(jīng)驗(yàn)實(shí)例如出一轍，看不出有何發(fā)展和豐富。這究竟是為了鞏固剛剛學(xué)習(xí)的純粹數(shù)學(xué)理論，還是為了引導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造性地應(yīng)用“后來(lái)經(jīng)驗(yàn)”？當(dāng)然也不是說(shuō)剛剛學(xué)
習(xí)的知識(shí)不需要鞏固，但是不需要大篇幅的進(jìn)行所謂的“鞏固”。說(shuō)得深一點(diǎn)，新教材習(xí)題的處理還是以應(yīng)試教育為航標(biāo)而設(shè)計(jì)的，致使習(xí)題以外有關(guān)經(jīng)驗(yàn)的引入都顯得牽強(qiáng)。
2.3過(guò)度的“減負(fù)”阻礙了經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展
從習(xí)題的數(shù)量來(lái)看，新教材又在很大程度上跟隨素質(zhì)教育的減負(fù)。很明顯，這使本來(lái)在“后來(lái)經(jīng)驗(yàn)”的發(fā)展與豐富方面就力不從心的習(xí)題處理方面，更加捉襟見(jiàn)肘[4]。然而，并不是要否定減負(fù)的意思，只是想新教材能否再設(shè)計(jì)一個(gè)新的欄目來(lái)彌補(bǔ)在這方面的不足，或者是對(duì)新教材中原有的“想一想”、“做一做”、“議一議”以及“課后的習(xí)題”等進(jìn)行異步分的實(shí)質(zhì)性的修改，將其內(nèi)容更豐富些；在一定程度上促進(jìn)學(xué)生“后來(lái)經(jīng)驗(yàn)”的豐富和發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的提升。但是話說(shuō)回來(lái)，經(jīng)驗(yàn)的重要性并不是意味著教學(xué)上的經(jīng)驗(yàn)，。事實(shí)上，“在數(shù)學(xué)中研究的不僅是直接從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來(lái)的量的關(guān)系和空間形式，而且還研究那些在數(shù)學(xué)內(nèi)部以已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來(lái)的關(guān)系和形式”[5]。因此，只有超越了了現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)才能獲得無(wú)限的發(fā)展。
綜合上面存在的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)給予新教材的建設(shè)更多的關(guān)注，先教材也應(yīng)該充分的吸收歷史上的優(yōu)秀的教育理論，并結(jié)合當(dāng)代的教育理念進(jìn)行創(chuàng)新，這樣才能推進(jìn)我們教育的改革，教材的編寫(xiě)也應(yīng)該遵循這樣的原則。
3教學(xué)存在的弊端
3.1徹底的否定傳統(tǒng)的教學(xué)方法
在新《課改》精神下，存在著過(guò)分偏向課改精神，對(duì)于傳統(tǒng)一刀切，傳統(tǒng)的教學(xué)方法似乎成為了一種包袱，唯恐棄之不及。有些教師認(rèn)為聽(tīng)別人講一兩節(jié)示范課、聽(tīng)一兩次培訓(xùn)，就掌握了課改精神，不學(xué)習(xí)相關(guān)理論，不研究新課教改精神實(shí)質(zhì)，進(jìn)而否定一切傳統(tǒng)教學(xué)方法。無(wú)論什么課都讓學(xué)生自學(xué)、討論、探究學(xué)習(xí)，教師的主導(dǎo)作用基本上不能體現(xiàn)，甚至認(rèn)為用傳統(tǒng)教學(xué)方法就等于不成功。在實(shí)質(zhì)上，這是對(duì)課改精神的背離，因?yàn)樾抡n改的精神在于創(chuàng)新，需要對(duì)傳統(tǒng)揚(yáng)棄，而非否定一切。
3.2忽略了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)
新課改的一個(gè)明顯的改變時(shí)要求學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的改變，提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。然而，在現(xiàn)實(shí)的實(shí)踐中，由于老師對(duì)教材的理解不夠深入，過(guò)分的讓學(xué)生“自由”式的學(xué)習(xí)，存在了在教學(xué)上的自由放任的現(xiàn)象。例如：為了體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，教師在整堂課都讓學(xué)生看書(shū)、討論、相互提問(wèn)，教師過(guò)分的缺少講授。其結(jié)果往往是不言而喻，真正在思考的學(xué)生是極少數(shù)的，多數(shù)的學(xué)生在“看熱鬧”。
3.3對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)的不妥當(dāng)
新課改主要是“以人為本”，不僅賦予了學(xué)生主體地位，而且還給予了情感上的關(guān)注，適時(shí)的給予學(xué)生評(píng)價(jià)，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)和幫助。但是要明確的是：評(píng)價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)[6]。然而，在實(shí)踐中，因?yàn)榻處煹脑u(píng)價(jià)不客觀，反而違背了新課改的精神。
4彌補(bǔ)教材教學(xué)中的不完整
4.1教材編寫(xiě)內(nèi)容全新化
新教材增加多種形式的習(xí)題，增添大量的插圖，使科教直觀形象，淺顯易懂。同時(shí)教學(xué)的內(nèi)容的編排先易后難，然后再學(xué)習(xí)抽象、概括程度較高的內(nèi)容，符合人的認(rèn)知規(guī)律，章程較小，知識(shí)點(diǎn)少，隨時(shí)保持新鮮感，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
4.2教師教學(xué)的活動(dòng)化
教師要將傳統(tǒng)的“教師帶著知識(shí)走進(jìn)學(xué)生”改成“教師帶著學(xué)生走進(jìn)知識(shí)”，給學(xué)生更好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和交流機(jī)會(huì)，把教學(xué)過(guò)程變成相互交流、共同發(fā)展的互動(dòng)過(guò)程，教師的教和學(xué)生的學(xué)是“互動(dòng)的”。通過(guò)借助圖片折疊、游戲、動(dòng)手操作等多種多樣的呈現(xiàn)方式，有機(jī)地創(chuàng)設(shè)了適宜于學(xué)生領(lǐng)悟問(wèn)題的情境，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)了自主探究和合作交流的精神。
非智力因素屬于人的非認(rèn)知性心理系統(tǒng)，是有利于人們所進(jìn)行的各種活動(dòng)中（包括學(xué)習(xí)活動(dòng)）的智力因素以外的心理因素的總稱，由興趣、動(dòng)機(jī)、情感、意志、性格等五種因素構(gòu)成。教育心理學(xué)認(rèn)為非智力因素不直接參與認(rèn)知過(guò)程，即在認(rèn)知過(guò)程中，非智力因素不直接承擔(dān)對(duì)機(jī)體內(nèi)外信息的接受、加工、處理等任務(wù)；但直接制約認(rèn)知過(guò)程，表現(xiàn)為它對(duì)認(rèn)識(shí)過(guò)程的動(dòng)力作用、定向和影響作用、維持和調(diào)節(jié)作用、彌補(bǔ)作用。數(shù)學(xué)后進(jìn)生其實(shí)質(zhì)是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)學(xué)成績(jī)低下，長(zhǎng)期持續(xù)困難，能力薄弱，有較嚴(yán)重的知識(shí)缺欠，處在無(wú)趣與困惑之中的學(xué)生。多數(shù)后進(jìn)生性格好動(dòng)、注意力不集中；缺乏明確的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),意志不堅(jiān)強(qiáng)；求知欲較低、信心不足、學(xué)習(xí)態(tài)度不端正；缺乏學(xué)習(xí)興趣、克服困難的意志、缺乏積極的思考和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。
二、非智力因素在數(shù)學(xué)后進(jìn)生學(xué)習(xí)中的重要作用
在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，智力因素與非智力因素并不是孤立的，兩者統(tǒng)一于學(xué)生的學(xué)習(xí)之中。智力因素是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要因素，一方面它能夠促進(jìn)學(xué)生非智力因素的發(fā)展，另一方面，智力活動(dòng)又必須有非智力因素的積極參與和支持；非智力因素是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)能力的條件和前提,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中具有控制、維持和強(qiáng)化等重要作用,對(duì)智力因素的發(fā)揮起到輔助作用。后進(jìn)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只是沒(méi)有充分調(diào)動(dòng)自身非智力因素的作用，從而造成表面上在智力方面的后進(jìn)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)出發(fā),充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值，用數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著的思想內(nèi)容，積極引導(dǎo)，因材施教，注重后進(jìn)生的非智力因素開(kāi)發(fā)，充分發(fā)揮后進(jìn)生的非智力因素，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)的得到應(yīng)有的提高。
三、對(duì)初中數(shù)學(xué)后進(jìn)生的非智力因素的開(kāi)發(fā)研究
教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要關(guān)注后進(jìn)生的學(xué)習(xí)，特別要重視非智力因素的培養(yǎng)，從學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)、學(xué)習(xí)信心樹(shù)立、意志力培養(yǎng)、誘發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等方面充分利用非智力因素的作用，提高數(shù)學(xué)后進(jìn)生的學(xué)習(xí)效率。
1．培養(yǎng)后進(jìn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣
興趣是人們經(jīng)常傾向于認(rèn)識(shí)掌握某種事物,并力求參與該項(xiàng)活動(dòng)的心理特征。由于數(shù)學(xué)學(xué)科比其他學(xué)科枯燥、單調(diào)，造成在數(shù)學(xué)上有能力學(xué)生,卻因?yàn)槿狈εd趣而在學(xué)習(xí)上沒(méi)有突出的成績(jī)。這時(shí)教師要利用生動(dòng)有趣的例子，引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,使他喜歡上數(shù)學(xué)課。另一方面，教師要抓住初中生的心理特點(diǎn)，與學(xué)生建立融洽的師生關(guān)系，縮小師生之間的心理距離，使學(xué)生首先喜歡上自己，“親其師”,才會(huì)“善其道”。使后進(jìn)生由喜歡教師而間接的喜歡上數(shù)學(xué)課。
2．引導(dǎo)后進(jìn)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)實(shí)踐等方面的信念。教師要有意識(shí)的引導(dǎo)后進(jìn)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生值得贊美的地方。對(duì)后進(jìn)生的每一次微小的進(jìn)步加以鼓勵(lì)及肯定，使后進(jìn)生充滿對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，成為其努力學(xué)習(xí)的刺激，不斷進(jìn)步。
3．培養(yǎng)后進(jìn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意志力
意志力是人的非智力因素中最為重要的方面，良好的意志對(duì)學(xué)生的智能發(fā)展具有強(qiáng)化和推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，形象化的抽象內(nèi)容，使后進(jìn)生望而生畏，甚至自暴自棄。數(shù)學(xué)教師要注意不斷培養(yǎng)學(xué)生的意志力,給學(xué)生灌輸“天才出自于勤奮”的思想，學(xué)不好并不是智力差，而是沒(méi)有努力學(xué)習(xí)或?qū)W習(xí)方法不當(dāng)，增強(qiáng)他們的毅力和恒心、與困難作斗爭(zhēng)的勇氣。另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)合作教育，注重師生交流，對(duì)后進(jìn)生信任，使其有勇氣投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。
4．加強(qiáng)情感投入,誘發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)
教師首先要尊重、理解后進(jìn)生，用愛(ài)喚起積極向上的動(dòng)力。多與他們進(jìn)行溝通,在生活上、學(xué)習(xí)上都關(guān)愛(ài)他們,不失時(shí)機(jī)地用激勵(lì)感化后進(jìn)生，用精神和物質(zhì)力量激勵(lì)他們，實(shí)現(xiàn)后進(jìn)生自我表現(xiàn)的滿足。另外，教師要利用各種機(jī)會(huì),向?qū)W生講解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和實(shí)用性,激發(fā)后進(jìn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)。