時間：2022-04-13 04:41:03
導(dǎo)語：在數(shù)學(xué)理論論文的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
摘 要：數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)生活，數(shù)學(xué)貫穿于我們生活的方方面面。華羅庚說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。所以，提高數(shù)學(xué)老師的素養(yǎng)至關(guān)重要。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教師 數(shù)學(xué)素養(yǎng)
數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指在個人的先天素質(zhì)的基礎(chǔ)上，受后天教育與環(huán)境的影響，通過個體自身的學(xué)習(xí)、認(rèn)識和實踐活動等所獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想觀念等的一種綜合修養(yǎng)。我們也稱之為數(shù)學(xué)品質(zhì)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)當(dāng)然也包括與數(shù)學(xué)有關(guān)的人文修養(yǎng)。
一、加強數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性和必要性
目前教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)欠缺，到底欠缺在哪里？我認(rèn)為，主要還是欠缺在數(shù)學(xué)本身，即數(shù)學(xué)的現(xiàn)代修養(yǎng)上。我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤之所以能取得舉世矚目研究成果，至今仍沒有人超過他，用國外數(shù)學(xué)家和同行的話來說，“他是移動了群山才達(dá)到這一研究水平的”。這個群山就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眾多基礎(chǔ)知識和思想觀念。當(dāng)然，對絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師來說不可能也不必要具有專職數(shù)學(xué)家那樣的數(shù)學(xué)水平和研究能力。但是從《課標(biāo)》中所列出的那些數(shù)學(xué)內(nèi)容與模塊看來，尤其是要開設(shè)的那些選修課，有許多都涉及到了近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分支，如果教師本身不具備這些必要的功底，如何能適應(yīng)新的教學(xué)任務(wù)？數(shù)學(xué)的知識、能力和品質(zhì)，知識是基礎(chǔ)，沒有知識，能力何在？更何談創(chuàng)新與發(fā)明？
二、數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成
數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)的認(rèn)識、數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握、數(shù)學(xué)的意識、數(shù)學(xué)語言的運用等四個要素。
（一）數(shù)學(xué)的認(rèn)識
完整準(zhǔn)確地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對數(shù)學(xué)教師來說具有十分重要的作用。事實上，如果一名教師注重數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)，他就會自覺地把數(shù)學(xué)視為模式的科學(xué)；如果一名教師注重過程，他就會認(rèn)為數(shù)學(xué)是直覺和邏輯的產(chǎn)物；如果一名教師注重社會價值，他又會把數(shù)學(xué)理解為是一種工具等等。新課程標(biāo)準(zhǔn)更加關(guān)注人的發(fā)展，更加注重對學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因此，數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)的認(rèn)識要注重由絕對主義的靜態(tài)觀向可誤主義的動態(tài)觀轉(zhuǎn)變，這是新形勢下數(shù)學(xué)教師建構(gòu)專業(yè)理念的一個基本條件。
（二）數(shù)學(xué)的意識
數(shù)學(xué)意識指的是人們通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練形成的運用數(shù)學(xué)思維方式的習(xí)慣，一般說來，主要包括推理意識、抽象意識、整體意識與化歸意識。推理意識就是養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣，既包括在數(shù)學(xué)理論思考中由一個或一些判斷導(dǎo)致另一判斷，也包括由經(jīng)驗事實引出的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)判斷。抽象意識指的是在數(shù)學(xué)問題的分析和解決過程中，把適當(dāng)?shù)膯栴}化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行抽象概括。整體意識是指全面地、從全局上考慮問題的習(xí)慣?；瘹w意識則指的是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，用聯(lián)系的、發(fā)展的、運動變化的眼光觀察問題，認(rèn)識問題，有意識的對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐捉饣蛞呀獾膯栴}。數(shù)學(xué)的意識，還集中表現(xiàn)在用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決現(xiàn)實問題，借助于數(shù)學(xué)方法使問題獲得解決。
（三）數(shù)學(xué)語言的運用
數(shù)學(xué)語言，又叫符號語言，它是一種改進(jìn)了的自然語言，通過使用字詞、符號、圖形體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，具有精煉、準(zhǔn)確、清晰等特點。將文字語言、符號語言、圖像語言互相轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)語言表述的最基本的要求。
數(shù)學(xué)語言是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分發(fā)揮個人的創(chuàng)造性，正確處理教學(xué)中各種矛盾，正確有效地把數(shù)學(xué)知識傳遞給學(xué)生，最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的一種具有審美體驗的語言技能活動。是師生互動的媒介，是師生交流思想的工具，是思維的外在表現(xiàn)形式，是教師使用最廣泛、最基本、最有效的知識信息載體。沒有準(zhǔn)確、規(guī)范、簡約的數(shù)學(xué)語言作為媒介，很難想象一節(jié)數(shù)學(xué)課是優(yōu)質(zhì)的，或是成功的。因此，熟練掌握和運用數(shù)學(xué)語言也是我們數(shù)學(xué)教師做好未來數(shù)學(xué)教學(xué)工作的基礎(chǔ)。
除了上述所列三類數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還有諸如對數(shù)學(xué)史的明了、數(shù)學(xué)美的悟性、數(shù)學(xué)論文寫作、數(shù)學(xué)信息檢索等方面的能力素養(yǎng)也是數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組織部分。
三、數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)
培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重在抓內(nèi)因，沒有個人認(rèn)識上的到位，外因起不了多大作用。為此，筆者建議做好以下幾點：
（一）提高數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)素養(yǎng)重要性的認(rèn)識
當(dāng)今教師的專業(yè)化發(fā)展對教師的從教素質(zhì)提出了越來越高的要求，無論在教學(xué)技能、還是在專業(yè)知識上?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確指出：“強調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應(yīng)用意識與推理等基本能力”。“從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識”。這些雖是對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)目標(biāo)，同時也是對數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)能力的要求。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)具有比學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)目標(biāo)更高的能力水平。
（二）要積極倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課外閱讀
數(shù)學(xué)教師具有了較豐富的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，對一般的數(shù)學(xué)課外讀物都能嘗試加以閱讀。諸如，張景中院士的《新概念幾何》、《數(shù)學(xué)家的眼光》，李毓佩教授著《奇妙的數(shù)王國》，談祥伯教授等的《數(shù)學(xué)與文史》、《數(shù)學(xué)與建筑》、《數(shù)學(xué)與金融》等。在數(shù)學(xué)教師中廣泛倡導(dǎo)閱讀這些數(shù)學(xué)科普讀物，不但可以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以及閱讀理解能力，而且可以讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，進(jìn)一步明了數(shù)學(xué)的曲折發(fā)展歷程，從中感悟數(shù)學(xué)的無窮魅力。
（三）要強化數(shù)學(xué)教師的解題訓(xùn)練
論文摘要：經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是研究經(jīng)濟學(xué)的重要工具，在經(jīng)濟應(yīng)用中占有重要的地位。文章從經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵、構(gòu)建經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的方法、遵循的基本原則以及所要注意的問題進(jìn)行了簡要分析和論述。
數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)息息相關(guān)，可以說每一項經(jīng)濟學(xué)的研究、決策，都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用。特別是自從諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎創(chuàng)設(shè)以來，利用數(shù)學(xué)工具來分析經(jīng)濟問題得到的理論成果層出不窮，經(jīng)濟學(xué)中使用數(shù)學(xué)方法的趨勢越來越明顯。當(dāng)代西方經(jīng)濟學(xué)認(rèn)為，經(jīng)濟學(xué)的基本方法是分析經(jīng)濟變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立經(jīng)濟模型，從中引申出經(jīng)濟原則和理論，進(jìn)行預(yù)測、決策和監(jiān)控。在經(jīng)濟領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的運用首要的問題是實用性和實踐性問題，即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟現(xiàn)象或說明某一經(jīng)濟問題。因而，數(shù)學(xué)模型分析已成為現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)研究的基本趨向，經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型在研究許多特定的經(jīng)濟問題時具有重要的不可替代的作用，在經(jīng)濟學(xué)日益計量化、定量分析的今天，數(shù)學(xué)模型方法顯得愈來愈重要。
一、經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想精華的具體體現(xiàn)，是對客觀實際對象的數(shù)學(xué)表述，它是在一定的合理假設(shè)前提下，對實際問題進(jìn)行抽象和簡化，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)命題、圖形、圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟問題有機地結(jié)合在一起時，經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型也就產(chǎn)生了。所謂經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型，就是把實際經(jīng)濟現(xiàn)象內(nèi)部各因素之間的關(guān)系以及人們的實踐經(jīng)驗，歸結(jié)成一套反映數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式和一系列的具體算法，用來描述經(jīng)濟對象的運行規(guī)律。所以，經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是對客觀經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系的簡化反映，是經(jīng)濟現(xiàn)象和經(jīng)濟過程中客觀存在的量的依從關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，是經(jīng)濟分析中科學(xué)抽象和高度綜合的一種重要形式。
經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是研究分析經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系的重要工具，它是經(jīng)濟理論和經(jīng)濟現(xiàn)實的中間環(huán)節(jié)。它在經(jīng)濟理論的指導(dǎo)下對經(jīng)濟現(xiàn)實進(jìn)行簡化，但在主要的本質(zhì)方面又近似地反映了經(jīng)濟現(xiàn)實，所以是經(jīng)濟現(xiàn)實的抽象。經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型能起明確思路、加工信息、驗證理論、計算求解、分析和解決經(jīng)濟問題的作用，特別是對量大面廣、相互聯(lián)系、錯綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析研究，更離不開經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的幫助。運用經(jīng)濟數(shù)學(xué)建模來分析經(jīng)濟問題，預(yù)測經(jīng)濟走向，提出經(jīng)濟對策已是大勢所趨。
在經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型中，用到的數(shù)學(xué)非常廣泛，有些還相當(dāng)精深。其中包括線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、非線性規(guī)劃、不動點定理、變分發(fā)、控制理論、動態(tài)規(guī)劃、凸集理論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程、矩陣論、微分方程、對策論、多值函數(shù)、機智測度等等，它們應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)的許多部門，特別是數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和計量經(jīng)濟學(xué)。
二、建立經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的基本步驟
1.模型準(zhǔn)備。首先要深入了解實際經(jīng)濟問題以及與問題有關(guān)的背景知識，對現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象及原始背景進(jìn)行細(xì)致觀察和周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工分析、分組整理。
2.模型假設(shè)。通過假設(shè)把實際經(jīng)濟問題簡化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質(zhì)的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已經(jīng)掌握的經(jīng)濟信息，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，把理想化的自然模型表述成為一個數(shù)學(xué)研究的題材——經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型。
4.模型求解。使用已知的數(shù)學(xué)知識和觀測數(shù)據(jù)，利用相關(guān)數(shù)學(xué)原理和方法，求出所建模型中各參數(shù)的估計值。
5.模型分析。求出模型的解后，對解的意義進(jìn)行分析、討論，即這個解說明了什么問題？是否達(dá)到了建模的目的？根據(jù)實際經(jīng)濟問題的原始背景，用理想化的自然模型的術(shù)語對所得到的解進(jìn)行解釋和說明。
6.模型檢驗。把模型的分析結(jié)果與經(jīng)濟問題的實際情況進(jìn)行比較，以考察模型是否符合問題實際，以此來驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和實用性。如果模型與問題實際偏差較大，則須調(diào)整修改。
三、建立經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型應(yīng)遵從的主要原則
1.假設(shè)原則。假設(shè)是某一理論所適用的條件，任何理論都是有條件的、相對的。經(jīng)濟問題向來錯綜復(fù)雜，假設(shè)正是從復(fù)雜多變因素中尋求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近實際情況的假設(shè)，從假設(shè)中推出初步結(jié)論，然后再逐步放寬假設(shè)條件，逐步加進(jìn)復(fù)雜因素，使高度簡化的模型更接近經(jīng)濟運行實際。作假設(shè)時，可以從以下幾方面來考慮：關(guān)于是否包含某些因素的假設(shè)；關(guān)于條件相對強弱及各因素影響相對大小的假設(shè)；關(guān)于變量間關(guān)系的假設(shè)；關(guān)于模型適用范圍的假設(shè)等等。
2.最優(yōu)原則。最優(yōu)原則可以從兩方面來考慮：其一是各經(jīng)濟變量和體系上達(dá)到一種相對平衡，使之運行的效率最佳；其次是無約束條件極值存在而達(dá)到效率的最優(yōu)、資源配置的最佳、消費效用或利潤的最大化。由于經(jīng)濟運行機制是為了實現(xiàn)上述目標(biāo)的最優(yōu)可能性，我們在建立經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型時必須緊緊圍繞這一目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行。
3.均衡原則。即經(jīng)濟體系中變動的各種力量處于相對穩(wěn)定，基本上趨于某一種平衡狀態(tài)。在數(shù)學(xué)中所表述的觀點是幾個函數(shù)關(guān)系共同確定的變量值，它不單純是一個函數(shù)的變動去向，而是整個模型所共有的特殊結(jié)合點，在該點上整個體系變動是一致的，即達(dá)到一種經(jīng)濟聯(lián)系的平衡。如需求函數(shù)和供給函數(shù)形成的均衡價格和數(shù)量，使市場處于一種相對平衡狀態(tài)，從而達(dá)到市場配置的最優(yōu)。
4.數(shù)、形、式結(jié)合原則。數(shù)表示量的大小，形表示量的集合，式反映了經(jīng)濟變量的聯(lián)系及規(guī)律，三者之間形成了邏輯的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中圖形是點的軌跡，點是函數(shù)的特殊值，因而也是函數(shù)和曲線的統(tǒng)一。可以認(rèn)為經(jīng)濟問題是復(fù)雜經(jīng)濟現(xiàn)象中的一個點，函數(shù)則是經(jīng)濟變量之間的相互依存、相互作用關(guān)系，圖形就是經(jīng)濟運行的規(guī)律和機制。所以，數(shù)、形、式是建模的主要工具和手段，是解決客觀經(jīng)濟問題的三個要素。
5.抽象與概括的原則。抽象是思維的延伸，概括是思維的總結(jié)，抽象原則揭示了善于從紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟現(xiàn)象延伸到經(jīng)濟本質(zhì)，挖掘其本質(zhì)的反映，概括是經(jīng)濟問題的縱橫比較與分析，以便把握其本質(zhì)屬性，揭示其規(guī)律。
四、構(gòu)建和運用經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問題
經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是對客觀經(jīng)濟現(xiàn)象的把握，是相對的、有條件的。經(jīng)濟研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時，必須以客觀經(jīng)濟活動的實際為基礎(chǔ)，以最初的基本假設(shè)為條件，一旦突破了最初的基本假設(shè)，就需要研究探索使用新的數(shù)學(xué)方法；一旦脫離客觀經(jīng)濟實際，數(shù)學(xué)的應(yīng)用就失去了意義。因此，在構(gòu)建和運用經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型時須注意到：
1.首先對所研究的經(jīng)濟問題要有明確的了解，細(xì)致周密的調(diào)查。分析經(jīng)濟問題運行的規(guī)律，獲取相關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，明確各經(jīng)濟變量之間的數(shù)量關(guān)系。如果條件不太明確，則要通過假設(shè)來逐漸明確，從而簡化問題。
2.明確建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能會有很大的差異。建模目的可能是為了描述或解釋某一經(jīng)濟現(xiàn)象；可能是預(yù)報某一經(jīng)濟事件是否發(fā)生，或者發(fā)展趨勢如何；還可能是為了優(yōu)化管理、決策或控制等?？傊⒔?jīng)濟數(shù)學(xué)模型是為了解決實際經(jīng)濟問題，所以建模過程中不僅要建立經(jīng)濟變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，還必須清楚這些表達(dá)式在整個模型中的地位和作用。
3.在經(jīng)濟實際中只能對可量化的經(jīng)濟問題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能進(jìn)行數(shù)量分析的。盡管經(jīng)濟模型是反映事物的數(shù)量關(guān)系的，但必須從定性開始，離開具體理論所界定的概念，就無從對事物的數(shù)量進(jìn)行分析和討論。
4.不同數(shù)學(xué)模型的求解一般涉及不同的數(shù)學(xué)分支的專門知識，所以建模時應(yīng)盡可能利用自己熟悉的數(shù)學(xué)分支知識。同時，也應(yīng)征對問題學(xué)習(xí)了解一些新的知識，特別是計算機科學(xué)的發(fā)展為建模提供了強有力的輔助工具，熟練掌握一些數(shù)學(xué)或經(jīng)濟軟件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
5.根據(jù)調(diào)查或搜集的數(shù)據(jù)建立的模型，只能算作一個“經(jīng)驗公式”，只能對經(jīng)濟現(xiàn)象做出粗略大致的描述，據(jù)此公式計算出來的數(shù)據(jù)只能是個估計值。同時，模型相對于客觀實際不可避免的產(chǎn)生一定誤差，一方面要根據(jù)模型的目的確定誤差允許的范圍；另一方面，要分析誤差來源，若誤差過大，須尋找補救方案。
6.用所建經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型去說明或解釋處于動態(tài)中的經(jīng)濟現(xiàn)象時，必須注意時空條件的變化，必須考慮不可量化因素的影響作用以及在一定條件下次要因素轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕蛩氐目赡苄浴?/p>
參考文獻(xiàn):
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2.張麗娟.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用[J].集團經(jīng)濟研究,2007（2）
文化結(jié)構(gòu)由物質(zhì)文化和精神文化組成。由于一定的社會制度是一定的物質(zhì)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，要受到一定的精神文化制約，因而可將文化結(jié)構(gòu)分成三個層面：“這就是物質(zhì)文化，制度文化和精神文化”①。數(shù)學(xué)在建立發(fā)展過程中，受到了物質(zhì)文化、制度文化、精神文化的影響及制約。
東方中國的古代文化的經(jīng)濟基礎(chǔ)基本上是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟。這種情況決定古代中國的物質(zhì)文化是農(nóng)業(yè)文化。中國古代數(shù)學(xué)也與農(nóng)業(yè)經(jīng)濟有著密切的關(guān)系?！毒耪滤阈g(shù)》是中國最古老的經(jīng)典著作，書有九章，包含246個問題。都和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有關(guān)，九章分別是方田（土地測量）、粟米（百分法和比例）、衰分（比例分配）、少廣（減少寬度）、商功（工程審議）、均輸（征稅）、盈不足（過剩與不足）、方程（列表計算的方法）、勾股（直角三角形）。這些問題都是用來解決農(nóng)田的測量、粟米的稱量，農(nóng)業(yè)水利工程的測算等?！段宀芩憬?jīng)》是一部為地方行政人員所寫的應(yīng)用算術(shù)，全書五卷，有田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹五個部分。田曹卷的主題是田地面積的量法；兵曹算術(shù)大都是軍隊的給養(yǎng)問題；集曹問題和《九章算術(shù)》粟米章問題相仿；倉曹解決糧食的征收、運輸和儲藏問題；金曹問題以絲絹、錢幣等物資為對象，是簡單的比例問題。我國古代大數(shù)學(xué)家劉徽到祖沖之、祖沖之研究圓周率和圓面積的輝煌成就中，都深深地打著農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的印記。農(nóng)業(yè)的交通工具主要是車，車輪是否圓，不僅和車輛行駛中的平穩(wěn)狀況有關(guān)，而且還和省力有關(guān)，因而農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的需要使得我國圓周率的研究在世界數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)牡匚弧＿^去，農(nóng)業(yè)的顯著特點是靠天吃飯，天文、節(jié)氣的測算是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要，在中國，古代天文測算的成果是相當(dāng)輝煌的，“東漢末年天文學(xué)家劉洪造乾象歷法（公元206年），創(chuàng)立了推算定朔、定望時刻的公式”?！八宄煳膶W(xué)家劉焯在他的杰作《皇極歷》（公元600年）中創(chuàng)立了一個推算日、月、五星行度的比以前更加精密的公式”②。天文學(xué)的發(fā)展推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。解一次同余式就是由天文測算開始的。天文數(shù)學(xué)的發(fā)展除了物質(zhì)文化的需要，還受到制度文化的要求，中國數(shù)學(xué)的重要性在于它與歷法有關(guān)，“在《疇人傳》中很難找到一個數(shù)學(xué)家不受詔參與或幫助他那個時代的歷法革新工作?！雹鄢酥袊?，古代埃及數(shù)學(xué)的建立基礎(chǔ)也是農(nóng)業(yè)的需要。埃及幾何學(xué)的起源被史學(xué)家們歸因于泥羅河泛濫后土地的重新測量；巴比倫的數(shù)學(xué)起源也是如此，尤其是巴比倫數(shù)學(xué)的60進(jìn)位制來自于天文學(xué)；印度數(shù)學(xué)和占星術(shù)有關(guān)，而占星術(shù)又和農(nóng)業(yè)及宗教有關(guān)。
東方數(shù)學(xué)的建立比西方要早，但東方的數(shù)學(xué)在理論化的道路上行動遲緩。原因何在呢？自給自足的自然經(jīng)濟的生產(chǎn)力狀況決定的生產(chǎn)力關(guān)系是以家族為中心、以血緣關(guān)系為紐帶的宗法等級關(guān)系，社會制度是宗法等級制度。自給自足的自然經(jīng)濟中分散的家族和農(nóng)民需要有高高在上、君臨一切的中央集權(quán)的君主專制制度的統(tǒng)治。在這種社會制度的影響和作用下，形成中國古代穩(wěn)定的上下尊卑等級秩序的文化心理。主要特點是靜態(tài)的、和解的、自然的、消極的心理特點。造成安于現(xiàn)狀的生活方式、工作方式、管理方式。思想僵化、調(diào)和持中，這種文化心理使得數(shù)學(xué)只停留在實用上。沒有就數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)自身的規(guī)律沒有得到完善?！霸诠糯鷸|方的全部數(shù)學(xué)中甚至找不到一個我們今天稱之為‘證明’的例子，代替論證的只有程序的描述，所講授的內(nèi)容只是‘如此這般地做’，而且也不是以一般規(guī)則的形式提出來，只不過是在一系列特殊情況下的應(yīng)用方法?！雹苓@段話雖有失偏頗，但也道出中國古代數(shù)學(xué)的特征。在中國數(shù)學(xué)的發(fā)展史上曾出現(xiàn)了劉徽、墨子、惠施等天才的數(shù)學(xué)家，但他們的數(shù)學(xué)研究和成就不能和西方的阿基米得、歐幾里德相比較。這主要是我國古代數(shù)學(xué)的理論研究不受重視所致。漢王朝建立以后的“重農(nóng)抑商”政策使數(shù)學(xué)研究受不到貿(mào)易的誘惑。農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的財富有限和填飽肚子的生活狀況，不允許人們的思想向?qū)嵱靡酝獾牡胤窖由?；隋朝開始的科舉制度也扼殺了大批在數(shù)學(xué)研究上具有不凡才華的人。在科舉制度中數(shù)學(xué)不是要考的課程，為“學(xué)而優(yōu)則仕”而奮斗的人們，自然不會將數(shù)學(xué)當(dāng)作主修課程來學(xué)習(xí)。另外，農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的貧困使得沒有多少人來學(xué)文化，學(xué)數(shù)學(xué)的人自然更少。在這種情況下，中國古代數(shù)學(xué)的許多成就只處在應(yīng)用和描述過程階段，沒有提高到抽象的、系統(tǒng)的理論階段，從而使數(shù)學(xué)的發(fā)展和升華受到限制，象“勾股定理”、“圓周率”這些值得中國人驕傲的數(shù)學(xué)成就，沒有造成相應(yīng)的數(shù)學(xué)的轟動效應(yīng)?！肮垂啥ɡ怼痹谖覈谈叩臅r代就應(yīng)用比西方的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)早600年，但由于我們沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這個定理在現(xiàn)在還認(rèn)為是畢氏的成果，稱為“畢氏定理”。墨子的極限理論也沒有引起足夠的重視，后來西方數(shù)學(xué)傳入我國時才知西方極限思想和黑子的思想是一致的?！爸剞r(nóng)抑商”的文化傳統(tǒng)的價值觀具有明顯的倫理性。小農(nóng)經(jīng)濟的自給自足的環(huán)境不需進(jìn)行商品交換（至少不需要太多的貨幣介入）。生產(chǎn)中占支配地位的是使用價值，人們關(guān)心的是使用價值而不是價值，以不言利為榮，“重義輕利”的思想滲透到人們的思想深處。數(shù)學(xué)的應(yīng)用只局限于分配環(huán)節(jié)中。而在復(fù)雜的流通和交換領(lǐng)域中數(shù)學(xué)沒有機會“施展才華”。多農(nóng)少商沒有足夠的財富供人們享受，財產(chǎn)的有限性限制了人們的探險精神和“想入非非”，從而限制了數(shù)學(xué)向理性的發(fā)展。
在西方，小亞西亞海岸新興的商業(yè)城市、希臘本土、西西里島和意大利海濱，由于海上貿(mào)易和戰(zhàn)爭的刺激使得人們的思想活躍，商品貿(mào)易發(fā)達(dá)，對計算要求的提高，財富的增加使人們有更多的時間從事“非實用”的理論研究。古代東方靜態(tài)的觀點和西方動態(tài)的觀點不一樣，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)上唯理論的氣氛濃厚起來。人們不但要知其“然”，而且要知其“所以然”。不但要問“什么”，而且要問“為什么”，要解決“所以然”和“為什么”。古代東方的以實踐和經(jīng)驗為根據(jù)的方法就顯得“無能為力”和“后勁不足”。為了知道“所以然”和“為什么”，就得在數(shù)學(xué)的證明方法上作一定的努力，在這樣的文化氛圍中現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了。東方的幾何學(xué)只為測量提供方法，而證明的幾何學(xué)是由公元6世紀(jì)前半期米利都的泰勒斯開創(chuàng)的。泰勒斯不是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟中的“耕夫”，而是一個商人，他在經(jīng)商過程中積累了足夠的財富后，在后半生從事研究和旅行。他在幾何學(xué)中的主要成果有“圓被任一直徑二等分”，“等腰三角形的兩底角相等”、“兩條直線相交對頂角相等”，“兩個三角形，有兩個角和一條邊對應(yīng)相等，則全等”、“內(nèi)接與半圓的角必為直角”等⑤。這些成果的意義不在于斷言的本身，而是提供了一些邏輯推理（象他的第五個問題巴比倫比他早知道近1400年，但沒有形成嚴(yán)格的證明）。使得數(shù)學(xué)被推向抽象、系統(tǒng)化軌道的還有畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖以及他們的繼承者形成的畢氏學(xué)派和柏氏學(xué)派。由于商業(yè)的發(fā)達(dá)、財富的增長，使得人們旅行的欲望越來越高，而旅行和游動的生活方式給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了機遇。前面提到的泰勒斯的后半生就是在旅行和數(shù)學(xué)研究中渡過的，“他有一段時間住在埃及”⑥。畢達(dá)哥拉斯也有旅行和流動生活的經(jīng)歷?！八诎＜熬幼×?2年，從埃及神廟的祭司那里了解了古埃及有關(guān)數(shù)學(xué)、天文方面的知識……回國后，又前往希臘的移民地阿佩寧半島的克羅托納城定居”⑦。從這兩位數(shù)學(xué)大師的經(jīng)歷看，不能不說旅游這種文化活動給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了條件。商業(yè)貿(mào)易的發(fā)展，可誘導(dǎo)戰(zhàn)爭的爆發(fā)，戰(zhàn)爭不僅給侵略者掠奪來物質(zhì)財富，而且也帶來了許多精神財富，其中就有數(shù)學(xué)成就。公元前334年，馬其頓國王亞歷山大領(lǐng)兵進(jìn)入埃及，不久揮師東進(jìn)，橫掃了波斯帝國的軍隊，到了印度河西岸，建立起龐大的亞歷山大帝國和亞歷山大城，這個城市的建設(shè)主要著眼于文化科學(xué)設(shè)施的建設(shè)，吸引了大量的人才，不久就成為當(dāng)時世界科學(xué)文化的名城，歐幾里德就是在這個環(huán)境中熏陶和成熟起來的偉大的數(shù)學(xué)家。他對數(shù)學(xué)寶庫的貢獻(xiàn)是《幾何原本》。他的幾何和東方幾何的不同之處是，不僅從應(yīng)用的角度來談，而是就幾何而幾何的角度加以研究，運用邏輯推理來證明命題的真?zhèn)?。而且用幾何的方法來解決代數(shù)方程。他的著作中的許多公理、定理和定義除了適應(yīng)當(dāng)時的經(jīng)驗外，還具有普遍的意義。阿基米得也是當(dāng)時偉大的數(shù)學(xué)家，他采用窮竭法來求圓的周長和直徑的比值，其指導(dǎo)思想和我國劉徽的計算圓周率的思想是一致的，但不同之點是“劉徽是從圓內(nèi)接正多邊形著手，而阿基米得不僅從圓內(nèi)接正多邊形著手、還從外切正多邊形這個角度進(jìn)行計算”⑧。這就體現(xiàn)出西方數(shù)學(xué)家多方位的思維方式。另外，阿基米得在研究圓的同時，還研究了球和圓柱的問題，他在《論錐形體和球形體》中使用了近似于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法。他的工作不僅涉及到具有很大應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)問題，而且提出了許多明確的數(shù)學(xué)概念，在這一點上要比東方數(shù)學(xué)先進(jìn)。商業(yè)貿(mào)易具有一定的風(fēng)險性、尤其是遠(yuǎn)航貿(mào)易。這種背景下產(chǎn)生了保除業(yè)。而保險的興起又促使了概率論的產(chǎn)生和發(fā)展。雖然刺激概率論的是賭博，但起源是商業(yè)文化。即使是賭博也是產(chǎn)生于發(fā)達(dá)的商業(yè)文化城?？梢?，東西方傳統(tǒng)文化不僅影響到不同的數(shù)學(xué)分支和范圍，而且在同一數(shù)學(xué)問題上所體現(xiàn)的解決問題的方法也不同，表述的形式、研究的動機也存在差異。再來看一個事實，《周易》及先天圖二分法與菜布尼茲的二進(jìn)制，兩者一個講對分，一個講進(jìn)位。但都“用兩個符號表示無限的事物或數(shù)學(xué)其客觀存在的排列法則，決定了先天圖與二進(jìn)制算術(shù)的一致”⑧。二進(jìn)制和先天圖沒有關(guān)系，這是不同時代的東西方數(shù)學(xué)家，在完全不同的社會背景下的產(chǎn)物，其一致性是令人吃驚的，但思想方法卻完全不同。二進(jìn)制是在西方傳統(tǒng)文化中歐洲科學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，是有意識地運用十進(jìn)制知識而創(chuàng)造的一種計數(shù)方法。二分圖是《周易》眾多象數(shù)體系中的一個，其中有合理的因素。但其動機不免有些封建意識的糟粕，因為它不是依靠科學(xué)的依據(jù)推出來的。
總之，東西方傳統(tǒng)文化的不同，造成了東西方數(shù)學(xué)上的差異。東方是數(shù)學(xué)原始的發(fā)祥地，但其發(fā)展和科學(xué)化、理性化的功勞基本上歸于西方。
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由于學(xué)生的智力差異，每道例題教學(xué)后，總有部分學(xué)生對例題所講的思考方法、解題思路掌握得不牢固，因此，在例題教學(xué)后回顧和總結(jié)解題思路則顯得十分必要。在反思中，學(xué)生對例題進(jìn)行再認(rèn)識、再理解、再提高，既加深了學(xué)生對題中數(shù)量關(guān)系的理解，又訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性。
例如：一個服裝廠計劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，平均每天要做多少套？
教完例題后，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧例1的解題思路。根據(jù)“已經(jīng)做了5天”和“平均每天做75套”這兩個條件可以求出已經(jīng)做了的套數(shù)；已知計劃做660套衣服，又求出了已經(jīng)做了的套數(shù)，就能求出剩下的套數(shù)；知道剩下的套數(shù)和要求完成的天數(shù)，就能求出后3天平均每天要做的套數(shù)（即由因?qū)ЧC合法）。再讓學(xué)生說出解題步驟：第一步求“已經(jīng)做了多少套”，第二步求“還剩下多少套”，第三步求“后三天平均每天要做多少套才能完成任務(wù)”。最后，教師再根據(jù)綜合算式提問：①“75×5”表示什么？②“660－75×5”表示什么？③“（660－75×5）÷3”又表示什么？通過這樣的反思，進(jìn)一步幫助學(xué)生理順和掌握該應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和解題思路，加深學(xué)生思維的深度。
二、反思解題方法，訓(xùn)練思維的靈活性
教完每道例題，通過引導(dǎo)學(xué)生反思本題是否還有其它解法，比較哪種解法較為簡捷，進(jìn)一步拓寬學(xué)生解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。例如，在第十一冊54頁的例4教學(xué)之后，教師可問學(xué)生：這道題還可以怎樣解答？在教師的啟發(fā)下得出如下幾種解法：
解法一
以九月份生產(chǎn)玻璃的箱數(shù)作單位“1”，得解法：20000÷（1＋1/3）。
解法二
以十月份生產(chǎn)玻璃的箱數(shù)作單位“1”，解法為：20000×（1－1/4）。
解法三
用歸一法解：20000÷（3＋1）×3解法四用方程解：設(shè)九月份生產(chǎn)玻璃x箱。得方程（20000－x）÷x＝13。
這樣引導(dǎo)學(xué)生從同一例題中探求不同的解法，有利于克服思維定勢，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。
三、反思題目變式，訓(xùn)練思維的廣闊性
某些例題在教學(xué)后，還可引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位地改變題中的條件與問題，進(jìn)行變式教學(xué)。這樣，不僅加深學(xué)生對某類應(yīng)用題結(jié)構(gòu)和特征的理解，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生理解問題和解決問題的能力。
例如，第十一冊49頁的例2，在教學(xué)后可進(jìn)行如下變式訓(xùn)練
1.變換條件。將題中“六月份比五月份多捕了1/4”變換為：
（1）六月份比五月份少捕了1/4；
（2）六月份捕魚是五月份的(1+1/4)倍；
（3）相當(dāng)于六月份捕魚噸數(shù)的4/5；
（4）六月份比五月份的4/5多100噸。
2.變換問題。將題中“六月份捕魚多少噸”變換為：
（1）五月份和六月份一共捕魚多少噸？
（2）六月份比五月份多捕魚多少噸？
（3）五月份捕魚噸數(shù)是六月份的幾分之幾？這樣，通過一題多變和一題多問，增大了題目的知識容量，訓(xùn)練了學(xué)生靈活應(yīng)用知識解決問題的能力，收到了事半功倍的效果。
四、反思引申推廣，訓(xùn)練思維的變通性
有些應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系、解題方法很相似，如在教學(xué)中不失時機地將某些例題作適當(dāng)?shù)囊?，不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步理解題目的數(shù)量關(guān)系，掌握解題規(guī)律，而且有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性。
例如，在教學(xué)第十一冊58頁的例5這道工程應(yīng)用題之后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)工程應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征及解題規(guī)律進(jìn)行反思，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)工程、相遇、注水等問題有著相似的數(shù)量關(guān)系及解法。
如相遇問題：“客車從甲地開往乙地需20分鐘，貨車從乙地開往甲地需30分鐘。現(xiàn)兩車同時分別從甲、乙兩地相對開出，幾分鐘相遇？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（分）。
做衣問題：“一匹布，全部用來做上衣可以做20件，全部用來做褲子可以做30件。如要求做套裝，這匹布可以做多少套衣服？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（套）。
一、對聯(lián)是從漢語文的特性中生長出來的
關(guān)于對聯(lián)的起源，我國古代有許多傳說。據(jù)《山海經(jīng)》、《風(fēng)俗通》等古書記載，上古時期，東海渡朔山上有一株巨大的桃樹，枝葉覆蓋三千里，在桃樹的東北方向，枝椏短矮，形成一個大缺口，像個門戶，于是百鬼就從這里出入，名曰：“鬼門”。門戶兩邊，站著兩個武士，一個名叫“神荼”（讀升書），一個名叫“郁壘”（讀玉立），是專門站崗放哨，捉拿惡鬼的，以保護(hù)老百姓過平安生活。這兩位武士，就是人們心目中最早的“門神”。當(dāng)時人們?yōu)榱似桨策^好春節(jié)，就用桃樹枝條，仿照神荼、郁壘的形象，扎飾桃人，立于門旁。后來為了簡便，人們改用兩塊桃木板，在上面分別畫上神荼、郁壘的圖像，再后來，人們直接在兩塊桃木板上分別寫上“神荼、郁壘”的名字，掛在門旁，用以鎮(zhèn)邪。這兩塊桃木板叫做“桃符”，每年農(nóng)歷除夕到春節(jié)期間，更換一次。桃符傳至五代時期，有些文人不再在桃木板上書寫門神的名字，而是寫上兩句對偶聯(lián)句。據(jù)《宋史•蜀世家》記載：五代時后蜀皇帝孟昶，每逢春節(jié)都命令翰林學(xué)士作詞，書寫在“桃符”上。后蜀歸宋的前一年（964年）除夕，孟昶叫翰林學(xué)士辛寅遜題書“桃符板”。辛寅遜寫的他不滿意，便親自在“桃符”板上題寫一聯(lián)：“新年納余慶，嘉節(jié)號長春?！边@便是我國歷史上較早見之于文獻(xiàn)記載的春聯(lián)，迄今已有一千多年的歷史。(1)在此之前是否有更早的對聯(lián)，許多學(xué)者作過考證。有人認(rèn)為應(yīng)該把發(fā)現(xiàn)四聲作為出現(xiàn)最早對聯(lián)的上限。因為，如果承認(rèn)對聯(lián)是格律文學(xué)，是講究平仄對仗的，就不可能出現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)四聲之前。這應(yīng)該是很有道理的。但在嚴(yán)格的對聯(lián)出現(xiàn)之前，應(yīng)該存在較寬泛的對聯(lián)，即不講平仄的對聯(lián)，而這些寬泛的對聯(lián)肯定是嚴(yán)格意義上的對聯(lián)的前身，后者正是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。這些寬泛的對聯(lián)一直可以追溯到很遠(yuǎn)年代的詩中出現(xiàn)的對偶句，例如：《周易•乾傳》中的“同聲相應(yīng)，同氣相求”、《詩經(jīng)•采薇》中的“昔我往矣，楊柳依依；今我來思，雨雪霏霏”、老子《道德經(jīng)》中的“道可道，非常道；名可名，非常名”等等。
其實，對聯(lián)的起源，還應(yīng)該追溯到漢語文的出現(xiàn)和漢語文特點的形成。漢語的語素以單音節(jié)為主，這些語素是非常自由的，組合能力很強，每一個這樣的語素都可以單獨構(gòu)成一個詞，或與別的詞結(jié)合構(gòu)成另一個詞，這為整齊句式的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。漢語是聲調(diào)語言，每個音節(jié)的主要元音都有一個聲調(diào)，也就是說，一個單音節(jié)語素都有一個聲調(diào)，這就為四聲出現(xiàn)、平仄押韻奠定了基礎(chǔ)。漢語還是一種非形態(tài)語言，它不靠詞的形態(tài)變化表示語法關(guān)系，不靠形態(tài)變化作為將詞組合成更大的語言片斷的手段，而是靠語序和輔助詞，這就使不同的
句式通過變換語序添加輔助詞而變得對稱整齊?；谶@樣的特點，漢語文非常容易形成一連串整齊的（即音節(jié)數(shù)相等）結(jié)構(gòu)，也非常容易押韻，對聯(lián)的基本特點如上下聯(lián)字?jǐn)?shù)相等、句法相似、詞性相同、詞意相關(guān)、平仄相對、一一對稱等的內(nèi)在生成必須依賴于漢語文的這些獨特的本性。而世界上其他民族的拼音連寫文字，就無法構(gòu)成對聯(lián)。因此，我們可以說，對聯(lián)是從漢語文的特性中生長出來的。對聯(lián)與漢語文的特性具有如此密不可分的關(guān)系，我們的先人很早就發(fā)現(xiàn)了漢語文的這一的優(yōu)點，并在語言表達(dá)實踐中逐漸地發(fā)展與提煉，于是就使對聯(lián)得到了廣泛的運用，在社會各階層、各行業(yè)直至千家萬戶的各種活動中人們要表達(dá)思想傳遞情感，首先想到的就是對聯(lián)，因此對聯(lián)之風(fēng)在中華大地長盛不衰。
對聯(lián)的形成，為古代語文教育尋求最佳言語形式提供了豐厚的土壤。人們在日常生活中普遍地使用對聯(lián)，就促使人們?nèi)W(xué)對聯(lián)、教對聯(lián)，這樣，對聯(lián)教學(xué)就自然走進(jìn)了語文教育的視野，一種以學(xué)對聯(lián)為教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)課程——屬對教學(xué)就應(yīng)運而生。這里需要說明的是，屬對教學(xué)的出現(xiàn)，一方面是由于學(xué)對聯(lián)的需要，另一方面也是由于學(xué)詩歌的需要，我國古代詩歌之風(fēng)也很盛行，詩歌發(fā)展到格律的近體詩，特別是律詩，四聯(lián)的中間兩聯(lián)必須用對仗的形式，而對仗與對聯(lián)是一母所生，律詩的中間兩聯(lián)實際上就是兩副對聯(lián)。所以學(xué)對聯(lián)也好，學(xué)對仗也好，二者名稱不同，其實質(zhì)卻是一樣的，都是要求學(xué)習(xí)上下聯(lián)（句）如何做到兩兩相對，二者共同催生了漢語文教育中的屬對教學(xué)。
二、對對子教學(xué)的本質(zhì)是言語實踐
對對子訓(xùn)練是為寫對聯(lián)、駢文和近體詩做準(zhǔn)備的。我國古代對聯(lián)、駢文和近體詩非常發(fā)達(dá)，古人在長期的語言運用過程中逐漸形成了寫駢文、寫韻文的風(fēng)氣，社會各界以“吟詩作對”相提倡。為了寫好駢文、韻文，就得加以訓(xùn)練，使初學(xué)者能通過訓(xùn)練逐步掌握其寫作技巧，寫出符合規(guī)范的能夠表情達(dá)意的駢文和韻文。而這些駢文、韻文寫作的最基本的技巧就是對對子。正如有的學(xué)者所指出的：“在中國文學(xué)各種有韻之文的體裁中，如駢文、詩詞、銘賦，都要以對聯(lián)為基礎(chǔ)。所以過去的讀書人，無不以對對子為基本功。這門基本功練好了，才能進(jìn)入各種體裁的領(lǐng)域中?！保?）于是對對子（屬對）訓(xùn)練就自然成為了古代語文教學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，成為了中小學(xué)生的必修課。
古人的對對子教學(xué)一開始就不是很注重知識的灌輸和語法分析，走的是注重知識的運用和言語實踐這一路。通俗地講，就是“在對對子中學(xué)習(xí)對對子，通過對對子學(xué)會對對子”。它不講語法理論，但實際上卻有相當(dāng)完備的語法訓(xùn)練；它不講名詞術(shù)語，卻能讓學(xué)生寫出符合名詞術(shù)語內(nèi)涵的規(guī)范語句；它不過多地分析拆解寫作技巧，卻能讓學(xué)生對出的對子里蘊涵了高妙的訣竅。它注重的是言語操作和言語實踐，通過提供具體的情境和語境，讓學(xué)生在這些情境之中自主地運用語言組織語言，在“運用”和“組織”的過程中把握對對子的技法，建構(gòu)言語能力，體悟漢語文的精妙。可以說，對對子教學(xué)體現(xiàn)的是一種言語實踐觀，其核心是體悟與實踐，其靈魂是學(xué)生的主體性。我們只要翻開古代的屬對教材，就可以清楚地看到這一點。古代流行較廣的屬對教材有《詩腋》、《詞林典腋》、《笠翁對韻》、《聲律啟蒙》、《對語四種》等，這些教材都沒有屬對方法和屬對技巧的論述，通篇只是一對一對的對語，這些對語主要是供學(xué)生查考、背誦和揣摩的。我們仔細(xì)研究一下這些教材中的對語，可以發(fā)現(xiàn)其中很有講究。這些對語都是規(guī)范工穩(wěn)的對子，從一字對到十字對，各種形式俱備；從天文地理到為人處世，內(nèi)容樣樣齊全。它們以成品的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前，給學(xué)生提供了模仿的樣本。同時這些對語中隱含著對對子的規(guī)范和技巧，它們整體上都是按韻部排列，每一副對子都體現(xiàn)出對對子所要求做到的詞性、平仄、押韻。如《笠翁對韻》是這樣編排的：“天對地，雨對風(fēng)，大陸對長空，山花對海樹，赤日對蒼穹……”，《聲律啟蒙》是這樣開頭的：“云對雨，雪對風(fēng)，晚照對晴空，來鴻對去雁，宿鳥對鳴蟲……”。在這里，“天”與“地”，名詞對名詞，平對仄，既是詞性相對，平仄也相對；“大陸”與“長空”，偏正詞組對偏正詞組，仄仄對平平。所有這些要領(lǐng)，教材都沒有作繁瑣的分析與闡述，所有的技法都濃縮在一個動詞“對”上。通過一個“對”字，引導(dǎo)學(xué)生主動去揣摩、主動去模仿、主動去實踐。在這里，我們不能不佩服教材編寫者的高明，也不能不佩服古人在屬對教學(xué)中形成的言語實踐觀。
三、對對子的教學(xué)價值在于可以有效提高學(xué)生的實際言語能力
對對子教學(xué)的最初目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生的言語組合能力，以寫出工整的對聯(lián)、駢文和韻文。在后來的教學(xué)實踐中，人們逐漸認(rèn)識到對對子的訓(xùn)練價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了當(dāng)初的設(shè)想，人們發(fā)現(xiàn)對對子的訓(xùn)練，不僅能讓學(xué)生寫出工巧的對子，而且使學(xué)生駕馭和組合語言的能力得到了提高。也就是說，人們通過對對子這一言語實踐，不僅實現(xiàn)了對對子自身的功能，而且發(fā)掘出了粘附在對對子上面的更廣泛的言語訓(xùn)練功能。于是古代對對子教學(xué)的目標(biāo)也在教學(xué)實踐中實現(xiàn)了轉(zhuǎn)型，由最初注重寫出單純具體的對聯(lián)、駢文和韻文為目標(biāo)，轉(zhuǎn)到了以訓(xùn)練學(xué)生識字、組詞、造句、為文等言語能力為主的目標(biāo)上來。元人程端禮在《讀書分年日程》中有一段話：
但令習(xí)字演文之日，將已說《小學(xué)》書作口義，以學(xué)演文，每句先逐字訓(xùn)
之，然后通解一句之意，又通解一章之意，相接續(xù)作去。明理，演文，一舉兩
得。更令記《對類》單字，使知虛實死活字，更記類首“天、長、永、日”字，
但臨放學(xué)時，面屬一對即行，使略知輕重虛實足矣。(3)
程端禮這段話已明顯地把屬對訓(xùn)練當(dāng)作了識字、用詞、演文訓(xùn)練的一個基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，他已經(jīng)認(rèn)識到了粘附在對對子訓(xùn)練上面的言語訓(xùn)練價值，他不再是為對對子而對對子，他已將對對子教學(xué)提升到了言語訓(xùn)練的層面，把對對子教學(xué)作為了言語基礎(chǔ)訓(xùn)練的一種手段。這是對古代對對子教學(xué)功能的實踐拓展和理性審視，為后代對對子訓(xùn)練指明了方向。
今人張志公先生曾對粘附在對對子上面的言語訓(xùn)練功能作過系統(tǒng)而深入的研究，他認(rèn)為屬對是一種實際的語音、語匯的訓(xùn)練和語法訓(xùn)練，同時包含修辭訓(xùn)練和邏輯訓(xùn)練的因素。學(xué)屬對首先要正音，同時學(xué)會陰陽上去（或平上去入）四聲，這是基本的語言訓(xùn)練；特別值得重視的是屬對的語法訓(xùn)練的作用，用實字、虛字兩個兩個地組織起來，可以組成好幾種結(jié)構(gòu)，如：風(fēng)吹、云騰……名詞＋動詞，主謂結(jié)構(gòu)；微云，細(xì)雨……形容詞＋名詞，偏正結(jié)構(gòu)；鑿井，耕田……動詞＋名詞，動賓結(jié)構(gòu)。要學(xué)生練字對，也就是訓(xùn)練學(xué)生運用主謂、動賓、偏正、聯(lián)合這幾種基本的造句格式。經(jīng)過反復(fù)練習(xí)，能夠敏捷地對上二字對，那就意味著已經(jīng)熟練地掌握了基本的句法規(guī)律。進(jìn)一步作“三字對”和“四字對”，這時就可以把助字加進(jìn)去。三字和四字的結(jié)構(gòu)，在文言里，已經(jīng)可以表現(xiàn)絕大部分造句格式，包括復(fù)句在內(nèi)。如：推窗邀月，出戶乘風(fēng)……“邀月”是“推窗”的目的，“乘風(fēng)”是“出戶”的目的，這是一種復(fù)雜單句的格式；月缺月圓，花開花落……“月缺”“月圓”，“花開”“花落”，都是兩個主謂結(jié)構(gòu)并列，這是一種聯(lián)合復(fù)句的格式。除了語言訓(xùn)練、語匯訓(xùn)練、語法訓(xùn)練的作用之外，屬對還有修辭訓(xùn)練和邏輯訓(xùn)練的作用?！靶枪鉅N燦”對“水勢滔滔”，“如煙”對“似火”，“一川楊柳如絲裊”對“十里荷花似錦鋪”，這些顯然都能訓(xùn)練學(xué)生運用形容、比喻等修辭方法?？偲饋砜矗瑢賹毩?xí)是一種不講語法理論而實際上相當(dāng)嚴(yán)密的語法訓(xùn)練，經(jīng)過多次的練習(xí)之后，學(xué)生可以純熟地掌握了詞類和造句的規(guī)律，并且用之于說話和寫作。我們往往以為學(xué)對對子只是為了學(xué)作詩，這種看法應(yīng)當(dāng)改變。屬對練習(xí)能夠通過實踐靈活地把語法、修辭、邏輯幾種訓(xùn)練綜合在一起，并且跟作文密切結(jié)合起來，這一點很值得作進(jìn)一步的研究。(4)
張志公先生的深入剖析使我們更清楚地看到了對對子訓(xùn)練所蘊含的言語訓(xùn)練功能，也正是因為對對子訓(xùn)練可以有效提高學(xué)生的基本言語能力，古人才把它列為語文教學(xué)的基礎(chǔ)課，成為所有學(xué)生的必修課。清代教育家崔學(xué)古認(rèn)為“自一字可增至數(shù)字”的對對子訓(xùn)練是“通文理捷徑”。(5)近代教育家說“對課與現(xiàn)在的造句法相近，大約由一字到四字，先生出上聯(lián)，學(xué)生想出下聯(lián)來?！@一種功課，不僅是作文的開始，也是作詩的基礎(chǔ)?！?6)這都是充分認(rèn)識到了對對子真正的言語訓(xùn)練價值。
四、對對子教學(xué)中內(nèi)含的認(rèn)知心理學(xué)原理
人們常?？吹焦湃藬M寫的絕妙好對或古人脫口成句對對子的故事，以為對對子主要靠天才的思維和敏捷的文思。其實這是一種片面的理解，只看到了冰山一角，未觸到冰山隱在水下的主體部分。古人流傳下來的絕妙好對和出口成對的故事自然是對對子的最高境界，我們可以把它看作了冰山的峰頂部分，它代表了對對子教學(xué)的最高成就。但人們同時也要看到，這只是對對子教學(xué)成就的一部分，對對子教學(xué)成就的更大部分（主體部分）則未被常人發(fā)現(xiàn)，它就如巨大的冰山主體隱在了水下。我們只要翻開各類古籍看一看，先看看古人所寫的絕妙好文、絕妙好詩和絕妙好詞，再看看史書的文詞及史書所記載的古人的一言一行，就會發(fā)現(xiàn)在字里行間隱藏的冰山主體，讀一讀這些文字，我們不能不驚嘆古人語句之工，我們不能不驚嘆古人對語之巧。從這些文字的字里行間我們可以隱隱尋出對對子訓(xùn)練的蛛絲馬跡，這些都是對對子自身及其粘附的言語功能所創(chuàng)造的成就。
由此，我們也可以看到，對對子教學(xué)不僅訓(xùn)練出了“絕妙好對”，而且訓(xùn)練出了人人具備的良好的言語表達(dá)能力。這些言語表達(dá)能力的形成當(dāng)然不是一蹴而就的，它經(jīng)歷了一個艱苦的訓(xùn)練過程，經(jīng)歷了一個由一字對、二字對逐漸加到多字對的實踐過程。如前文所述，對對子的訓(xùn)練過程主要是一個言語實踐過程，在這個過程中，學(xué)生的辨音、識字、組詞、造句、修辭和邏輯思維能力得到綜合訓(xùn)練，得以逐步增強。對對子教學(xué)走的是言語實踐之路，而不是語言分析和術(shù)語灌輸之路。在這里，我們還想對其中的一個問題作進(jìn)一步的闡述，那就是對對子教學(xué)實踐中知識是如何呈現(xiàn)、如何教學(xué)的，對對子能力及其粘附的言語能力的形成顯然離不開知識，因為能力要靠知識來建構(gòu)的，離開了知識，能力就成了無源之水，無本之木。那么，對對子訓(xùn)練中到底是如何處理知識與能力的關(guān)系呢？光用一句話“對對子的知識是在對對子的實踐中學(xué)習(xí)的，對對子能力是在知識的運用中形成的”來概括，的確抓住了二者關(guān)系的實質(zhì)，但無法對知識轉(zhuǎn)化成能力的過程作出深刻的揭示。下面我們試著用認(rèn)知心理學(xué)的廣義知識觀來作更深入的闡釋。自古以來人們對知識的認(rèn)識一般可以分為廣義與狹義兩種知識觀，按狹義的知識觀，知識僅包括它的貯存和提取；按廣義的知識觀，知識不僅包括它的貯存與提取，而且包括它的應(yīng)用，即人們常說的“真知”。廣義的知識觀不僅納入了知識（狹窄的），而且還將技能、策略納入了知識范疇，將知識（狹義的）、技能與策略融為一體了。它將知識分為三大類：陳述性知識（直接靠記憶陳述的知識，相當(dāng)于狹義的知識）、程序性知識（對外辦事的操作技能）、策略性知識（對自身行為的內(nèi)在調(diào)控的技能）。三類知識在學(xué)習(xí)過程中是這樣一種關(guān)系，陳述性知識的學(xué)習(xí)是形成程序性知識的基礎(chǔ)，程序性知識的學(xué)習(xí)可以實現(xiàn)陳述性知識的運用與轉(zhuǎn)化，陳述性知識與程序性知識的學(xué)習(xí)需要策略性知識進(jìn)行內(nèi)在調(diào)控。三類知識的協(xié)同作用，才能使學(xué)習(xí)者獲得“真知”（即習(xí)得知識的貯存、提取與應(yīng)用），獲得能力（7）。在這里，陳述性知識是基礎(chǔ)，程序性知識是關(guān)鍵，策略性知識是靈魂。程序性知識的學(xué)習(xí)之所以是關(guān)鍵，是因為它涉及到知識向能力轉(zhuǎn)化的內(nèi)在機制，程序性知識學(xué)習(xí)可分為兩個階段，第一階段是程序性知識的陳述性學(xué)習(xí)，在這一階段，程序性知識是以陳述性知識出現(xiàn)的，也就是說他們必須以命令的形式編入命題網(wǎng)絡(luò)，然后才能轉(zhuǎn)化為以產(chǎn)生式表征的程序性知識；第二階段是通過一套程序規(guī)則的操作，使陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識，習(xí)得運用知識的能力。例如，學(xué)習(xí)對對子的過程中，教師出上聯(lián)“半溪流水綠”，要求學(xué)生對出下聯(lián)。這個程序性知識的學(xué)習(xí)分為兩個階段，第一階段是陳述性學(xué)習(xí)階段，學(xué)生需要提取認(rèn)知結(jié)構(gòu)的命題網(wǎng)絡(luò)中的陳述性知識，知道“半溪”、“流水”、“綠”的含義及結(jié)構(gòu)方式，然后提取出這個上聯(lián)的平仄結(jié)構(gòu)；這些知識如果學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有，則無法繼續(xù)學(xué)習(xí)；如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有了這些知識則可以繼續(xù)進(jìn)入轉(zhuǎn)化階段；第二階段是陳述性學(xué)習(xí)向程序性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，學(xué)生開始運用對聯(lián)的規(guī)則（詞性相同、結(jié)構(gòu)相同、平仄相對），在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中努力搜尋與“半溪”“流水”“綠”的詞性、結(jié)構(gòu)、平仄相對的詞或詞組，這是第一次轉(zhuǎn)化；接著是程序性規(guī)則的進(jìn)一步運用，古人在屬對教材中提供了相應(yīng)的下聯(lián)“千樹落花紅”作為范例，詞性、結(jié)構(gòu)與平仄都對得非常工整，這是要求學(xué)生記憶的陳述性知識，學(xué)生已經(jīng)通過背誦貯存在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，此時只需提取出來，反復(fù)比照這樣配對的妙處：
半溪流水綠
千樹落花紅
通過比較，學(xué)生開始尋找與“千樹落花紅”相仿的句子，在不斷的監(jiān)控與調(diào)整中對出最符合屬對規(guī)則要求的下聯(lián)。比如，可以對“千里浮云白”，也可以對“一地落花紅”，只要從詞性、結(jié)構(gòu)、顏色、平仄這幾方面對上了，就可以認(rèn)定學(xué)生已經(jīng)掌握并能運用屬對規(guī)則來對對子，實現(xiàn)了陳述性知識向程序性知識的第二次轉(zhuǎn)化，學(xué)生的屬對能力得以形成。
從上面的分析，我們可以清楚看到，古代的屬對教學(xué)顯然符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，與現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展理論暗合，它將知識與能力合理地融合在同一個對對子教學(xué)實踐中，“知”與“行”合一，使學(xué)生通過屬對知識與規(guī)則的學(xué)習(xí)，運用知識逐步建構(gòu)起屬對能力，并獲得粘附在對對子能力上的言語表達(dá)能力。這也正是對對子教學(xué)取得成功并盛行幾千年的內(nèi)在原因。而我們現(xiàn)在的語文教學(xué)，知識學(xué)習(xí)與能力實際上是相互脫離，知識是單純的學(xué)習(xí)，能力是單純的訓(xùn)練，能力訓(xùn)練缺乏有效的知識支撐，只剩下一些被抽干了知識內(nèi)涵的標(biāo)簽式的術(shù)語，這也就是導(dǎo)致說不清知識怎樣轉(zhuǎn)化為能力的重要原因。連知識如何轉(zhuǎn)化為能力的原因都解釋不清，那么通過有效的知識來建構(gòu)語文能力的教學(xué)就更是無從談起。因此，我們今天的語文教學(xué)改革需要的是扎扎實實的分析與總結(jié)，現(xiàn)在的語文不是訓(xùn)練太多了，而是形式主義的訓(xùn)練太多了，真正與知識緊密結(jié)合的有效率的訓(xùn)練太少了；不是知識教學(xué)太多了，而是稀奇古怪的知識、形式化標(biāo)簽化的知識太多了，真正有效的符合能力訓(xùn)練的陳述性知識太少了。我們迫切需要加強對語文知識與語文能力之間的關(guān)系研究，迫切需要加強對語文能力的內(nèi)在構(gòu)成因素以及訓(xùn)練內(nèi)容與形式的研究。這就是筆者大力提倡傳統(tǒng)對對子教學(xué)的真正意圖。
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注釋：
(1)孫保龍編《古今對聯(lián)叢談》，江蘇古籍出版社，1984年3月第一版，第2—4頁。
(2)轉(zhuǎn)引自毛力群《對中國傳統(tǒng)屬對教學(xué)的認(rèn)識》，《課程•教材•教法》2004年第3期。
(3)《歷代教育論著選評（上）》第1117—1118頁，湖北教育出版社1994年7月第一版。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例教學(xué)方法的應(yīng)用中，案例的正確選擇非常重要，選擇合適的案例可以讓學(xué)生能更好的進(jìn)入數(shù)學(xué)知識點的學(xué)習(xí)中，身臨其境的體會概率論與數(shù)理統(tǒng)計帶來的學(xué)習(xí)樂趣，使課堂氣氛變得活躍，從而提高教學(xué)質(zhì)量，同時也增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。例如：選擇概率和彩票的案例進(jìn)行教學(xué)，教師可以適當(dāng)對彩票的相關(guān)知識進(jìn)行拓展；然后將概率和彩票的中獎率聯(lián)系起來，提出概率的運算思路，在其中添加統(tǒng)計的知識點，讓學(xué)生大膽的提出問題；最后，對概率和統(tǒng)計進(jìn)行歸納，對概率和彩票中獎率的關(guān)系進(jìn)行解答，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力，從而達(dá)到案例教學(xué)的目的，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提高。因此，正確選擇案例，活躍課堂氣氛，在教師的帶動作用下，數(shù)學(xué)教學(xué)可以變得很輕松愉悅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)質(zhì)量可以得到快速提高，從而促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)能力的全面發(fā)展。
二、開放學(xué)生思維，明確教學(xué)目的
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生是是教學(xué)的主體，每個人都有自己的思維能力，所以教師必須明確教學(xué)目的，使學(xué)生的思維得到盡可能的開放，促進(jìn)學(xué)生探索創(chuàng)新能力的不斷提高。因此，教師在選擇案例時，要綜合評估學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，對概率的概念、公式進(jìn)行仔細(xì)講解，將統(tǒng)計知識點貫穿到整個課堂教學(xué)，使案例突出教學(xué)重點，達(dá)到知識點融匯教學(xué)的教學(xué)目的。開放課堂教學(xué)，不僅可以使學(xué)生掌熟練握更多的概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點，更能拉近學(xué)生與作者、學(xué)生與自己的師生距離，使師生之間的感情更加融洽，從而大大提高教學(xué)質(zhì)量的目的。
三、有效組織教學(xué)，提高綜合能力
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整個過程中，打好基礎(chǔ)是非重要的，因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中運用案例教學(xué)，教師要有效組織教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高。針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的難點和易點，循序漸進(jìn)的提升難度，讓學(xué)生熟練掌握每個知識點，培養(yǎng)學(xué)生敏捷的數(shù)學(xué)思維能力，不斷開闊學(xué)生的視野，使學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計分析能力變得更強，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。例如：針對籃球投籃問題，根據(jù)球隊人數(shù)的變化來計算投籃的概率，從最簡單的計算開始，隨著人數(shù)的變化，計算復(fù)雜程度也變得越來越高。這就是一個概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點逐漸加深的案例，通過這個案例教學(xué)，學(xué)生的思維能力可以不斷增強，綜合能力也會得到不斷提高。
四、課后教學(xué)總結(jié)，不斷改革創(chuàng)新
概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中，案例教學(xué)方法應(yīng)用的課后總結(jié)，是教師對課堂教學(xué)不足的完善，可以有效保證案例教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，不斷創(chuàng)新教學(xué)方法和模式，同時促進(jìn)教師自我的不斷提升。課后總結(jié)，分為學(xué)生的總結(jié)和教師的總結(jié)，學(xué)生通過總結(jié)，可以對案例教學(xué)進(jìn)行仔細(xì)的分析，培養(yǎng)學(xué)生處理問題和解決問題的思路，提升學(xué)生實踐動手能力；教師總結(jié)時，對重點知識進(jìn)行再度印象加深，促進(jìn)學(xué)生不斷探索和創(chuàng)新，從而促進(jìn)教師教學(xué)的不斷創(chuàng)新。
五、結(jié)束語
一、要確立素質(zhì)教育的觀念
數(shù)學(xué)教學(xué)要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。要使學(xué)生有清晰的數(shù)學(xué)觀念，有全面的、牢固的，結(jié)成網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)知識，有運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。教學(xué)必須面對全體學(xué)生，必須嚴(yán)格按規(guī)定授完全部教材內(nèi)容（不管是否考這些內(nèi)容）。而且教學(xué)時概念必須交待準(zhǔn)確，數(shù)理必須交待清楚，做到每個判斷都有依據(jù)，每個推理都有道理。要在此基礎(chǔ)上談算法。
例如，不能說“一塊厚紙板是一個長方形”，應(yīng)該說這塊厚紙板的正面是一個長方形。學(xué)到長方體之后還應(yīng)該說這塊厚紙板是一個長方體，它的正面，反面都是長方形，還有4個長方形的面仔細(xì)看才看得到。教學(xué)“3.5米等于多少厘米”要使學(xué)生知道：1米是100厘米，3.5米是3.5個100厘米，即100×3.5厘米。按乘法的意義，列式時進(jìn)率100要寫在乘號的前面。教應(yīng)用題就要教學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，制定解答方案，然后計算結(jié)果。要讓學(xué)生獨立思考，獨立解答。
教學(xué)要緊緊依據(jù)教材，注意不要增加名詞述語及提出不科學(xué)的提法如說“最小的數(shù)是0”、“被減數(shù)一定大于減數(shù)”等。要依據(jù)運算意義確定算法，不要提死辦法，如“飛走是減”、“一共是加”、“照這樣計算就是要求單一量”……。
二、要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步的邏輯思維
小學(xué)生的思維方式正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。他們的思維一般要借助實物、圖形或者頭腦中的表象來進(jìn)行。應(yīng)當(dāng)肯定，形象思維是一種很好的思維方法，可以終生受用。但是，僅有具體形象思維是不夠的，還必須掌握抽象邏輯思維的方法，以提高思維能力。教學(xué)中可以滲透一些抽象邏輯思維的因素。
如教一位數(shù)加法，就不必每題都擺弄教具，可指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算理的推敲（其實很多教師都做了）。例如教8+7，可以指導(dǎo)學(xué)生這樣算，8只需補上2就得10，從7里面拿出2與8相加之后余下5，所以8+7
（附圖{圖}）
象地演示教具：①擺8和7；②將8放入鐵筒；③問還要放幾個就夠10個；④把7分成2和5，把2放入鐵筒；⑤問筒里有幾個，筒外有幾；⑥確定8+7=15。
又如解答兩次歸一問題“4匹馬5天飼料100千克。照這樣計算，6匹馬7天飼料多少千克？”如果畫圖表示題意尋求解題方法就很難，而且畫出的圖太繁反而失直觀作用?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生冷靜而深入地思考：要求“6匹馬7天吃多少千克”需要知道“1匹馬1天吃多少千克”。從“4匹馬5天吃100千克”可以求出“1匹馬1天吃多少千克”。題目說明“照這樣計算”表明這個標(biāo)準(zhǔn)不改變，可以用來求“6匹馬7天吃多少千克”。思考到這里可以肯定分兩大步解答：①求4匹馬1天吃多少，再求1匹馬1天吃多少；②求1匹馬7天吃多少，再求6匹馬7天吃多少。本題的解法是：100÷5÷4×7×6=210（千克）或者100÷4÷5×6×7＝210……
再如解盈虧問題（作為提高題來研究）“一組小朋友分一籃李果。每人3個余下4個，每人5個不足8個。這組小朋友有多少人？這籃李果有多少個？”可以這樣想：從每人多分一些李果造成總需求量增加，由此可以算出人數(shù)，進(jìn)而求出李果數(shù)。具體來說，由于每人多分5-3=2（個），結(jié)果由余4個變成不足8個，需要李果的總數(shù)就多了4+8=12（個），這12個是每人多分2個造成的，可知人數(shù)是12÷2=6（人）；李果數(shù)是3×6+4=22（個），驗算：5×6-8=22（個）。
三、適當(dāng)作一些論證
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只要求教師通過實驗得出結(jié)果就可以作出結(jié)論，至于結(jié)論成立與否并不作論證。久而久之，學(xué)生就會認(rèn)為實驗就是證明，這種觀念對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常不利。教師可以在適宜的問題抓住時機作一些論證，使學(xué)生確信所得結(jié)論的必然性，更重要的是使學(xué)生知道數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
例如，教學(xué)時可以使用不完全歸納法。如15×20=300,20×15=300，所以15×20=20×15;18×125=2250,125×18=2250，所以18×125=125×18，……經(jīng)過多次實驗都得到交換因數(shù)位置積不變的結(jié)果，從而歸納出乘法交換律，切忌一例立論。
有些地方可以作相當(dāng)正式的證明。如找圖中相
（附圖{圖}）
∠2＝∠4，還可以測量證實。但是，只經(jīng)過實驗就作結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn)，可以作如下證明：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2，所以∠1＝∠3。簡單的證明可使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
四、適時培養(yǎng)初步的空間想象力
數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念，使學(xué)生對物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認(rèn)識，對學(xué)過的形體以及接觸過的物體、場地、河山等能夠在頭腦中形成表象。教師要引導(dǎo)學(xué)生借助表象進(jìn)行思考，并以此為起點培養(yǎng)學(xué)生初步的空間想象力。
如解答籃球場鋪混凝土多少立方米的應(yīng)用問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想象出這些混凝土鋪在球場上將形成一個長方體，混凝土的厚度就是這個長方體的高。又如解答長方體形狀的糞池四壁和池底涂抹水泥問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想象出這個池?zé)o蓋，涂抹面只有5個。
解答復(fù)合應(yīng)用題也應(yīng)幫助學(xué)生想象出應(yīng)用題的情境以至數(shù)量關(guān)系。如解答相遇問題應(yīng)幫助學(xué)生想象出：一條路的兩頭各有一輛車，它們同時相向行駛，越來越靠近，單位時間靠近一段路程，全路程包括多少個這段路程就在多少個單位時間后相遇。
五、教好簡易方程和幾何初步知識
教好小學(xué)教材中的簡易方程，不要人為拔高，不要引進(jìn)中學(xué)的定理、方法。例如，列方程解應(yīng)用題不急于計算結(jié)果，首先把各數(shù)的位置擺好，然后找出數(shù)量之間的相等關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立方程，用等式表達(dá)未知數(shù)和已知數(shù)之間的關(guān)系，然后解方程求答數(shù)。列方程解應(yīng)用題能解答復(fù)雜疑難的問題，是中學(xué)的主要解題方法，小學(xué)應(yīng)該認(rèn)真做好孕伏。
小學(xué)要教好幾何初步知識，為中學(xué)作準(zhǔn)備。教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行操作性練習(xí)。如①過直線外的一點作直線的垂線和斜線，量該點到直線之間的各條線段，找出其中最短的。②過角內(nèi)的一點作兩邊的垂線和平行線，看哪種畫法得到平行四邊形。③過線段兩端各作一條垂線；過線段的一端作一個直角，另一端同側(cè)作一個45°的角；過線段的一端作30°的角，另一端同側(cè)作60°的角；過線段兩端同側(cè)各作一個75°的角；過線段兩端同側(cè)分別作30°和45°的角，看哪種作法得到三角形，得到怎樣的三角形。
六、認(rèn)真滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想
教材里隱含有函數(shù)、對應(yīng)、集合等內(nèi)容，教學(xué)時應(yīng)挖掘出來進(jìn)行滲透，但不給概念，不出名詞。
函數(shù)的例子隨處可見。如“桃樹棵數(shù)比李樹的2倍多5棵”，用關(guān)系式表示是：
桃樹棵數(shù)＝李樹棵數(shù)×2+5其中“李樹棵數(shù)”是自變量，“桃樹棵數(shù)”是自變量的函數(shù)?！袄顦淇脭?shù)”變化，“桃樹棵數(shù)”也隨之變化。
對應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里隨處可見，把求相差轉(zhuǎn)化為求剩余就是其中一例。如：有紅花6朵，黃花
（附圖{圖}）
通過一一對應(yīng)發(fā)現(xiàn)紅花里有4朵和黃花一樣多，另外還剩下2朵，即紅花比黃花多2朵。
集合在數(shù)的整除里有過廣泛的運用，有些思考題也應(yīng)用集合來解答。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想融匯在教材之中，要注意挖掘，進(jìn)行滲透，使學(xué)生及早接觸并初步領(lǐng)略它。
七、加強思維品質(zhì)的培養(yǎng)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
思維要有方向，有根據(jù)，不能胡思亂想。如用分析法分析數(shù)量關(guān)系，尋找解題方案，是從問題出發(fā)進(jìn)行分析推理，形成解題思路，方向很明確。研究其他問題也可以這樣進(jìn)行。
思維應(yīng)有靈活性。要提倡學(xué)生從多角度去考慮同一問題，用多種方法去解決，不應(yīng)強求統(tǒng)一，但要注意鼓勵學(xué)生采用最佳的方法。
有思維的靈活性才會有思維的創(chuàng)造性。思維靈活的學(xué)生能找出老師未講過的、一般人想不到、有時似乎異想的解決問題的方法。如表達(dá)“鹽的重量占海水的3%”，可能想出多種方法：
①鹽的重量＝海水重量×3%
②鹽的重量＝海水重量÷100×3
鹽的重量
③────＝3%
海水重量
（附圖{圖}）
思維的創(chuàng)造性還有賴于思維的深刻性。能運用所學(xué)知識深入鉆研才能解決較難的問題。如要發(fā)現(xiàn)圖中陰影的兩個部分面積相等，就要深入鉆研。通過鉆研就能發(fā)現(xiàn)圖中有兩個同底等高的三角形，它們各自減去同一個三角形，得出的兩個差相等。
思維的敏捷性反映思維的效率，提高思維的敏捷性需要講究思維方法，還要加強訓(xùn)練。
總之，良好的思維品質(zhì)不能給予，但可以培養(yǎng)，要給學(xué)生鍛煉的機會，并堅持不懈。
八、加強學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)
學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)要教師去培養(yǎng)，教師要讓學(xué)生對學(xué)習(xí)有興趣和愛好，有責(zé)任心和主動性，有鉆研精神和毅力，有合理的學(xué)習(xí)方法和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這里有幾點認(rèn)識：
1.僅靠興趣支持學(xué)習(xí)還不行。要教育學(xué)生產(chǎn)生理想和期望，讓他們用理想來支持學(xué)習(xí)，這樣，責(zé)任心和鉆研精神才能保持長久。
關(guān)鍵詞：信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境
數(shù)學(xué)是一門與生活聯(lián)系比較緊密的學(xué)科，它具有較高的抽象性，要使學(xué)生理解性地接受、消化，僅憑目前課堂上教師的傳授是不可能的。這就迫使教師改變教學(xué)觀念，探索教學(xué)技巧。我們運用現(xiàn)代信息技術(shù)從以下幾方面創(chuàng)設(shè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情境，供同仁們參考。
一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與好奇心
創(chuàng)設(shè)問題情境，就是在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生求知心理之間設(shè)障立疑，將學(xué)生引入一種與問題有關(guān)的情境。而信息技術(shù)正好是創(chuàng)設(shè)問題情境的最有效工具，教師利用多媒體技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為核心的現(xiàn)代教育技術(shù)盡可能創(chuàng)設(shè)生動、有趣的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位地對情境內(nèi)容進(jìn)行分析、比較、綜合，學(xué)生不斷地完成“同化”和“順應(yīng)”，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
例如:在教學(xué)“乘法分配率”時，一位教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了這樣一個良好的問題情境，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性和主動性，讓問題去激發(fā)思維的火花。例：一群猴子在山上玩，無意發(fā)現(xiàn)了一棵大樹上掛著一個奇特的仙桃，令他們垂簾欲滴，搶著上樹摘。正好猴王走過來，看見他們，就一聲令下：“不準(zhǔn)摘！誰想摘，必須先過我猴王關(guān)！”猴王便出了兩道計算題26×25+25×14=？25×（26+14）=？考他們。結(jié)果，有個伶俐的小猴子搶先答出兩道題的答案都是1000，猴王聽后，很高興，親自摘下桃子給猴子。其他猴子都很奇怪：“這兩題的算式不同，結(jié)果怎會一樣呢？”此時學(xué)生躍躍欲試，欲言而不能，教師趁勢而入，因勢利導(dǎo)、展示課題。這樣就達(dá)到了“一石激起千層浪”的效果，將學(xué)生帶入了情境之中。喚起了學(xué)生的求知欲望，點燃了學(xué)生思維的火花，在這生動有趣的情境吸引下學(xué)生們都積極的投入到學(xué)習(xí)中。
這種從創(chuàng)設(shè)問題情境入手激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的做法，不僅能使學(xué)生產(chǎn)生心理效應(yīng)，而且可以較好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。另外，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境可以開拓學(xué)生的思維，給學(xué)生發(fā)展的空間。
二、創(chuàng)設(shè)“親歷”情境，化解知識難點
新課標(biāo)強調(diào)：要大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力的工具。而網(wǎng)絡(luò)技術(shù)以其資源的豐富性、交互性等優(yōu)勢給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力。在教學(xué)中，如果教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一種使兒童仿佛“身臨其境”的活動，讓他們在活動中掌握知識的要點，化解知識難點，能使教學(xué)收到事半功倍的效果。
網(wǎng)絡(luò)進(jìn)入課堂，能將多姿多彩的生活情景帶入課堂，創(chuàng)設(shè)虛擬的真實情境，體現(xiàn)生活數(shù)學(xué)的教學(xué)理念。如，一位教師開展數(shù)學(xué)實踐活動“節(jié)約用水”的過程中，學(xué)生們不僅學(xué)會了測量、繪制等知識，還從網(wǎng)上了解到了有關(guān)我國水資源的概況等，真正體會到一滴水的價值，受到了良好的養(yǎng)成習(xí)慣教育和國情教育，可謂受益匪淺。
又如：在教學(xué)《直角的初步認(rèn)識》時，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識了直角，學(xué)會了畫直角后，我們設(shè)計了一個拓展題：經(jīng)過個屏幕上一點引出兩條射線（射線可以在屏幕上任意旋轉(zhuǎn)），要求學(xué)生用鼠標(biāo)拖動、旋轉(zhuǎn)兩條射線，利用電子直角三角板工具，能畫出多少個直角（無數(shù)個）？學(xué)生可以在電腦上直接操作，也可以通過網(wǎng)絡(luò)控制平臺與教師直接交流，教師也可以在網(wǎng)上監(jiān)看每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，同時與學(xué)生進(jìn)行個別交流，這樣，每一個學(xué)生都能夠得到老師的輔導(dǎo)，因材施教也就落到了實處，有力地促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新精神的發(fā)展。
有了網(wǎng)絡(luò)技術(shù)學(xué)生可以選擇自己喜歡的小課題進(jìn)行探索：自己上網(wǎng)查資料，上網(wǎng)求解、討論等，從而多方面、多角度地理解問題，增強了學(xué)生主動探索知識、主動實踐的意識和能力，促進(jìn)了可持續(xù)發(fā)展。
三、創(chuàng)設(shè)激勵情境，促進(jìn)學(xué)生敏捷思維
實踐證明：學(xué)生在緊張、激烈的比賽中，他們個個、躍躍欲試，挖空心思去爭取勝利。在教學(xué)中，教師利用信息技術(shù)具有運載信息量大、反應(yīng)速度快、綜合表現(xiàn)力強和容易控制的特點，恰到好處的創(chuàng)設(shè)一些激勵情境，有利于學(xué)生敏捷性思維的發(fā)展。
例如：學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)口算加減法時，傳統(tǒng)的方法是教師出示口算卡片，學(xué)生看算式回答。這樣，教師很難以照顧到每一學(xué)生，大多數(shù)學(xué)生都是在教師的直接刺激下做出一定的反應(yīng)。而教師利用多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，設(shè)計一個交互游戲型CAI課件，讓學(xué)生在游戲的情境中學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生提前或在規(guī)定的時間里正確的完成任務(wù)，把關(guān)的“將”才會讓其進(jìn)入下一關(guān)學(xué)習(xí)，否則仍然返回這一關(guān)，而且每一關(guān)都有不同的難度，越到最后，難度就越高，要求學(xué)生的反應(yīng)速度更快。學(xué)生在這種人機挑戰(zhàn)、激烈競爭的氛圍中漸漸養(yǎng)成不服輸，敢于向困難挑戰(zhàn)的好習(xí)慣，促使學(xué)生積極主動學(xué)習(xí)，學(xué)生思維得到了很好的鍛煉，同時體現(xiàn)了教師是組織者、引導(dǎo)者和幫助者的地位，克服了傳統(tǒng)教學(xué)中整齊劃一的缺陷，照顧到了不同學(xué)生之間的水平差異，每一個學(xué)生都能有成功的體驗。而且，有利于培養(yǎng)學(xué)生競爭意識和學(xué)習(xí)毅力。
四、創(chuàng)設(shè)“對比”情境，培養(yǎng)學(xué)生辯異能力
形近而實異的數(shù)學(xué)知識，常常困繞著小學(xué)生的思維，使他們不能用正確的方法去解決那些看似相同，實際屬于兩個不同的概念的數(shù)學(xué)問題。在教學(xué)中，教師抓住學(xué)生理解上的迷茫處，通過有針對性的觀察、對比辨析，能使學(xué)生的思維沿著正確的方向發(fā)展。
如：在教學(xué)“面積和周長的對比”時，我利用課件創(chuàng)設(shè)了一個貼近學(xué)生生活的故事情境：（電腦動畫出示后教師敘述）在一個小山村里，橋西住著李伯伯一家，橋東住著王伯伯一家。這一年李伯伯家養(yǎng)了5只養(yǎng)，王伯伯家在自家門前開墾了一塊長20米，寬6米的長方形麥地，（動畫顯示麥地）望著綠油油的麥田王伯伯非常高興。（動畫顯示羊要吃麥田的樣子）為了保障麥子豐收，請大家給麥田想個辦法？
生1：把羊牽走就行。
師：可是羊還是會跑過來的。
生2：給麥田的四周圍上籬笆。
師：這是一個好辦法。（動畫顯示紅色的籬笆）
師：請同學(xué)觀察這幅圖你能提出什么數(shù)學(xué)問題？
生1：王伯伯需要筑多長的籬笆？
生2：王伯伯種了多大面積的麥子？……（搶著提出問題）。
師：同學(xué)們太棒了，提出了這么多問題，那我們就幫王伯伯算算好嗎？
教學(xué)中教師先幫助學(xué)生明確面積和周長的本質(zhì)屬性：面積是指物體平面的大小，周長是指物體四周的長度。并讓學(xué)生說一說、指一指黑板的面積和周長的具體含義。
在教學(xué)中，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)特征后進(jìn)行比較異同點，有利于學(xué)生對概念的深刻認(rèn)識和準(zhǔn)確理解，同時能提高學(xué)生分析問題的能力。
五、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維
數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。創(chuàng)設(shè)與學(xué)生緊密聯(lián)系的生活情境，讓學(xué)生親自體驗情境中的數(shù)學(xué)問題，這樣有利于學(xué)生理解情境中的數(shù)學(xué)問題，有利于使學(xué)生體驗生活中數(shù)學(xué)無處不在，同時培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力．創(chuàng)造能力和初步解決實際問題的能力，而多媒體計算機卻有模擬性強的功能，能很好的創(chuàng)設(shè)一個虛擬應(yīng)用情境。
教學(xué)是師生的雙邊活動，教師的責(zé)任不僅在于自己把課講好，還要組織學(xué)生學(xué)好。上課伊始，環(huán)顧全班，示意學(xué)生坐正。目光向老師和黑板聚集，作好聽課準(zhǔn)備。這樣，雖然講課慢了幾秒鐘，但營造了全班良好的學(xué)習(xí)氣氛。學(xué)生們集中的注意、與老師合拍的思維，其收益絕非搶先幾秒鐘講課可得。相反，如果上課鈴聲剛停，老師就急乎乎講新課，置學(xué)生的松散狀況于不顧。教學(xué)效果可想而知。所以，上課開始的幾秒鐘的安排是值得認(rèn)真考慮的。汽車駕駛員把“寧停三分，不爭一秒”作為座右銘。我們數(shù)學(xué)教師也可借鑒。
二、新知引入，要慢些。
一般地說，數(shù)學(xué)知識是環(huán)環(huán)緊扣、節(jié)節(jié)相聯(lián)的，新知識是舊知識的延續(xù)和發(fā)展，新知識又是后續(xù)知識的基矗因此，新知的引人要慢些。引入新知時應(yīng)留出時間讓學(xué)生找到新舊知識的連接點，并運用己有的知識嘗試構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)。這樣可以使學(xué)生積極主動地獲取知識。
三、語言節(jié)奏，要慢些。
小學(xué)數(shù)學(xué)知識具有一定的抽象性。運用生動、形象的語言，把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為具體的、為學(xué)生易于理解接受的知識，是堤高課堂教學(xué)效率的一個重要方面。為了使課本知識變得淺顯通俗，使學(xué)生易懂易學(xué)，數(shù)學(xué)教師講課時語言要慢些。發(fā)問要慢，敘述概念要咬文嚼字，講授難點要注意停頓。同時，還要講究語調(diào)、節(jié)奏和情感。應(yīng)根據(jù)不同需要賦予數(shù)學(xué)語言以不同的情感色彩。
四、課堂提問，要慢些。
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是在公開課教學(xué)中，有的教師剛提問就讓學(xué)生舉手發(fā)言，或同時連續(xù)提好幾個問題，以致學(xué)生無言對答，或回答不到點子上，顛三倒四。究其原因，癥結(jié)是提問后，學(xué)生缺少分析、思考的時間。如果教師的提問慢些，提問后，有意識地圖出時間給學(xué)生思考，就能取得較理想的教學(xué)效果。例如：有位教師提出這樣一個問題：“給的分子加上4后，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)加上幾？”問題提出后，有的學(xué)生立刻舉手，這位熟師沒有急于讓學(xué)生回答，而是勸他們再認(rèn)真思考。當(dāng)時，教室里寂靜無聲，但學(xué)生都在積極思索，等大部分學(xué)生舉手后，這位教師才讓他們回答。結(jié)果學(xué)生都能說出正確答案。試想，如果提問后不留出充裕的時間，而讓學(xué)生匆匆發(fā)言，多數(shù)學(xué)生一時能回答出來嗎？