時(shí)間：2023-08-25 16:54:58
導(dǎo)語(yǔ)：在勾股定理的研究的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、新、老課程“勾股定理”的比較
1.課程內(nèi)容的變化
新課程相對(duì)于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關(guān)素材，書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子來展示勾股定理的應(yīng)用。
2.教學(xué)要求的變化
老教材對(duì)勾股定理的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)，會(huì)用勾股定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學(xué)要求是：（1）經(jīng)歷探索勾股定理及一個(gè)三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，并能運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題；（3）掌握判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題；（4）通過實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數(shù)據(jù)相對(duì)于老教材簡(jiǎn)單得多，刪去了煩瑣的計(jì)算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數(shù)據(jù)均不會(huì)過大，通過古埃及的結(jié)繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強(qiáng)了勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，利用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題成了重點(diǎn)，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)突出了勾股定理及逆定理的實(shí)用性。書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子，來展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)它們的文化價(jià)值，并且在知識(shí)發(fā)生過程中，作了較高要求。
3.課程關(guān)注點(diǎn)的變化
老課程比較關(guān)注運(yùn)用勾股定理及逆定理的相關(guān)運(yùn)算，即已知直角三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊和判定一個(gè)三角形是否是直角三角形。新課程則強(qiáng)調(diào)了勾股定理在現(xiàn)實(shí)生活中起著重要作用，是數(shù)形結(jié)合的典范。
二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題及建議
1.重視實(shí)際情景
新課程創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際情景，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個(gè)結(jié)，將繩子分成12等分，讓三位同學(xué)上講臺(tái)，一位同學(xué)握住第1和第13個(gè)結(jié)，一位握住第4個(gè)結(jié)，一位握第8個(gè)結(jié)，創(chuàng)設(shè)此情景，讓學(xué)生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數(shù)形結(jié)合
新教材里，勾股定理的探索和驗(yàn)證過程中，數(shù)形結(jié)合有較多體現(xiàn)，滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系。因此，建議在教學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵(lì)學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如：在探索勾股定理過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗(yàn)證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實(shí)際應(yīng)用
對(duì)于勾股定理，新教材不僅要求能從實(shí)際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實(shí)際問題中，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。因此，建議在教學(xué)中充分利用教科書中的素材讓學(xué)生體會(huì)這種應(yīng)用，如古埃及人利用結(jié)繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗(yàn)證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動(dòng)。因此，建議在教學(xué)中不要直接給出結(jié)論，要鼓勵(lì)學(xué)生，通過觀察、實(shí)踐、推理、交流等獲得結(jié)論，發(fā)展空間觀念和推理能力。例如教科書設(shè)計(jì)了在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動(dòng)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的探索得到結(jié)論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學(xué)生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機(jī)會(huì)，課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與探究或?qū)W習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，督促每個(gè)學(xué)生都在這個(gè)過程中積極參與，從而培養(yǎng)探索與創(chuàng)新的精神。
6.重視愛國(guó)主義的滲透
勾股定理及逆定理在2008年重點(diǎn)省市中考數(shù)學(xué)試卷中的考點(diǎn)分布情況統(tǒng)計(jì)表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命題者青睞的知識(shí)點(diǎn)，考查題型多種多樣，有選擇、填空和解答題，試題內(nèi)容涉及面廣、命題形式靈活、多樣的特點(diǎn)，所占分值在5分到10分之間。
一、夯實(shí)基礎(chǔ)――直接利用定理進(jìn)行計(jì)算與證明
綜觀近幾年的中考試題可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用主要體現(xiàn)在求三角形的邊長(zhǎng)、面積題,以及判斷三角形的形狀上.
點(diǎn)評(píng)：勾股定理是一個(gè)數(shù)形結(jié)合定理，所以在運(yùn)用勾股定理時(shí)如果沒有圖形常先畫圖，以增強(qiáng)解題的直觀性
例2 （2008年廣東考題)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，13，12，則ABC的面積為（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能確定
解析：因?yàn)?2+122=132，所以ABC為直角三角形，因而其面積為 ×5×12=30，故選A.
中考題型總結(jié)與預(yù)測(cè)：在2009年的中考試題中，對(duì)勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算仍將是命題的重點(diǎn)，試題難度不大，主要通過求三角形邊長(zhǎng)、面積作為考查勾股定理的掌握程度.題型以選擇、填空為主，針對(duì)這些命題趨勢(shì)，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提高計(jì)算能力，注重對(duì)勾股定理的理解和運(yùn)用.
二、提升能力――定理的實(shí)際應(yīng)用
勾股定理在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活和其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，在解決這些實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，首先要將這此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再利用勾股定理及逆定理來解決.在應(yīng)用時(shí)要明確勾股定理的適應(yīng)范圍是直角三角形，如果沒有直角三角形，常通過作高來構(gòu)造直角三角形，從而創(chuàng)造利用勾股定理的條件.
【例題精析】
例3（2008黃岡考題）如圖2是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學(xué)到影視城游玩，很想知道這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)，于是她從景點(diǎn)管理人員處打聽到：這個(gè)圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫助黃紅同學(xué)計(jì)算出這個(gè)圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的高度是多少？
解析：如圖2，連接AC，作AC的中垂線交AC于G，交BD于N，交圓的另一點(diǎn)為M，由垂徑定理可知：MN為圓弧形的所在的圓與地面的切點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)O，則O為圓心，連接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四邊形ABCD為矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
設(shè)O的圓心為R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以這個(gè)圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的高度是520 cm．
點(diǎn)評(píng)：本題解決的關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，進(jìn)行運(yùn)用勾股定理求出圓弧形門所在圓的半徑.
中考題型總結(jié)與預(yù)測(cè)：2009年的中考試題中仍將加大勾股定理的應(yīng)用力度的考查，題型以填空和解答題為主，分值在5至8分之間.
三、歸納運(yùn)用――定理應(yīng)用中的思想方法
數(shù)學(xué)思想是解決問題的靈魂，在勾股定理的應(yīng)用中常用到的數(shù)學(xué)思想方法主要有：
1.數(shù)形結(jié)合思想：抓住“數(shù)”與“形”之間的本質(zhì)聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，把抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀的形或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)，從而避開煩瑣運(yùn)算，簡(jiǎn)捷解題.
2.方程思想：是指通過列方程（組）求解的一種思想方法，是解幾何計(jì)算的重要策略.勾股定理實(shí)質(zhì)是一個(gè)等式，其表達(dá)式中有三個(gè)量，當(dāng)已知其中兩個(gè)量求另一個(gè)量時(shí)，往往通過設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)建方程來解決.
3.轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化思想就是把所要解決的的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題.例如，在解有關(guān)幾何體上的路線問題時(shí)，常將其轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，然后借助勾股定理來解決.
4.分類討論思想：分類討論思想就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行進(jìn)行解決，從而達(dá)到解決整個(gè)問題的目的.例如，當(dāng)題中沒有具體說明已知邊是直角邊還是斜邊的情況時(shí)，常進(jìn)行分類討論.
【例題精選】
例5（2008年新疆建議兵團(tuán)考題）如圖3，某市區(qū)南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于點(diǎn)O處.甲沿著喀什路以4m/s的速度由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速度由南向北走.當(dāng)乙走到O點(diǎn)以北50m處時(shí)，甲恰好到點(diǎn)O處．若兩人繼續(xù)向前行走，求兩個(gè)人相距85m時(shí)各自的位置．
解析：設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)兩人相距85m，根據(jù)題意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化簡(jiǎn)得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合實(shí)際情況，舍去），當(dāng)x=9時(shí)，4x=36，50+3x=77，當(dāng)兩人相距85m時(shí)，甲在O點(diǎn)以東36m處，乙在O點(diǎn)以北77m處．
例6（2008青海考題）如圖4，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm．在圓柱的下底面A 點(diǎn)處有一個(gè)蜘蛛，它想吃到上底面上與 點(diǎn)相對(duì)的B 點(diǎn)處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是______cm（結(jié)果用帶根號(hào)和 的式子表示）．
解析：解此題的關(guān)鍵是把側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)的連線中線段最短和勾股定理作答.如果說將圓柱體的側(cè)面沿AC剪開鋪平，如圖5, 則ADBC為長(zhǎng)方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考題型總結(jié)與預(yù)測(cè)：在2009年的中考試題中，將加大對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，難度有所加大，值得我們關(guān)注和重視，此類題將以計(jì)算題和圖形操作題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右.
四、融會(huì)貫通――勾股定理的拓展應(yīng)用
勾股定理常應(yīng)用于解決圖形折疊、拼接問題以及在新情境下的探索性、開放性試題，這些試題起點(diǎn)低，但綜合性強(qiáng)，能綜合考查同學(xué)們對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通能力，相對(duì)較難.
【例題精選】
例7（2008年臨沂考題）如圖6，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn＝________.
點(diǎn)評(píng)：本題涉及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)，解此題的思路是：通過連續(xù)地運(yùn)用勾股定理計(jì)算各個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得直角三角形的面積，然后從中發(fā)現(xiàn)面積規(guī)律，再歸納出第n個(gè)等到腰直角三角形的面積，較好地考查了由特殊到一般進(jìn)行規(guī)律探索的能力.
關(guān)鍵詞：勾股定理；探索；應(yīng)用
一、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：用數(shù)格子（或割、補(bǔ)等）的方法體驗(yàn)勾股定理的探索過程，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用。
（2）過程與方法目標(biāo)：在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)過程，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理的由來，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。
二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
重點(diǎn)：經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過程，并能用它來解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
難點(diǎn)：用面積法探索勾股定理。
三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
工人師傅用長(zhǎng)為4米的直梯將一幅宣傳橫幅掛在墻上高3.4米的位置，如果梯子的底部離墻的距離是1.2米，請(qǐng)問工人師傅能不能完成任務(wù)？
設(shè)計(jì)意圖：這樣的設(shè)計(jì)是以實(shí)際問題為切入點(diǎn)引入新課，反映了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際生活，產(chǎn)生于人的需要，也體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過程，解決問題的過程也是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程，從而引出本節(jié)課探究的主題。
（二）分類探究，發(fā)現(xiàn)定理
1.探究鋪墊
觀察下圖，你知道正方形C的面積是多少嗎？說說你的方法。
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過合作交流，嘗試探索方格中不同邊長(zhǎng)的正方形的面積求法，這樣設(shè)計(jì)有利于降低新課的探究難度，為突破難點(diǎn)打下基礎(chǔ)。
2.問題探究
例1：邊數(shù)為整數(shù)的直角三角形
類型一：等腰直角三角形。
觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？
學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：
結(jié)論1：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。
類型二：一般的直角三角形
由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？
觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？
結(jié)論2：“以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。
做一做：
（1）你能用直角三角形的邊長(zhǎng)，b，c來表示上圖中正方形的面積嗎？
（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？
（3）分別以3cm，4cm為直角邊作出直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，（2）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？
結(jié)論3：直角三角形兩直角邊的平方和，等于以斜邊的平方。
設(shè)計(jì)意圖：由直角三角形三邊長(zhǎng)為邊的三個(gè)正方形的面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系，初步得到勾股定理的內(nèi)容.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生具體畫出一個(gè)直角三角形，通過計(jì)算，進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理。
例2：邊數(shù)不為整數(shù)的直角三角形
運(yùn)用幾何畫板進(jìn)一步驗(yàn)證上面的結(jié)論，改變直角三角形的三邊的長(zhǎng)度，學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立。
設(shè)計(jì)意圖：由于邊數(shù)為整數(shù)直角三角形的三邊的平方關(guān)系，對(duì)于一般的直角三角形是否也成立？在這里，讓學(xué)生畫圖探討較為困難，因而利用幾何畫板進(jìn)一步驗(yàn)證前面得到的結(jié)論，在此基A上，進(jìn)一步探討出本節(jié)課的重點(diǎn)----勾股定理。通過邊數(shù)為整數(shù)和不為整數(shù)兩方面的分類探究，充分地讓學(xué)生經(jīng)歷了探索勾股定理的過程，得出的結(jié)論也更具有一般性，較好的突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。
例3：勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）
設(shè)計(jì)意圖：通過介紹勾股定理由來的歷史，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。
（三）回歸生活，應(yīng)用新知
解決情境問題。
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生解決開頭情景中的問題，前呼后應(yīng)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增加學(xué)以致用的樂趣和信心。
（四）知識(shí)拓展 ，鞏固深化
1.情境題：
小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機(jī)，小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58cm長(zhǎng)和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
設(shè)計(jì)意圖：增加學(xué)生的生活常識(shí)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，并用于生活。
2.探索題：
做一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長(zhǎng)為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識(shí)說明。
設(shè)計(jì)意圖：提升難度，學(xué)生通過交流討論的方式，拓展學(xué)生的思維、發(fā)展空間想象能力。
（五）課堂小結(jié)，概括要點(diǎn)
教師提問：
1.這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？
2.對(duì)這些內(nèi)容你有什么體會(huì)？與同伴進(jìn)行交流。
在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：
1.知識(shí)：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分類討論、特殊―一般―特殊、形結(jié)合思想。
設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)和交流的能力。
（六）布置作業(yè)，思維延伸
1.教科書習(xí)題1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三邊長(zhǎng)都滿足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它們滿足什么關(guān)系嗎？和同學(xué)們交流。
設(shè)計(jì)意圖：鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；引發(fā)思考，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)勾股定理適用的條件。對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)課的方法得出相應(yīng)的結(jié)論，將本節(jié)課的研究方法延伸到課外。
參考文獻(xiàn)：
[1]陳光林.《勾股定理》學(xué)習(xí)指南[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（北師大版），2007（Z2）.
下面就浙教版八年級(jí)上冊(cè)第二章第六節(jié)“探索勾股定理”具體分析教學(xué)設(shè)計(jì).
一、教學(xué)目標(biāo)
1． 知識(shí)目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題.
2． 能力目標(biāo)：通過探索勾股定理，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索的基本方法，提高學(xué)生的探索能力.
3． 情感目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的探索及應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的探索及驗(yàn)證.
學(xué)情分析：學(xué)生經(jīng)過小學(xué)到七年級(jí)的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備一定的觀察、歸納和推理能力，同時(shí)在小學(xué)里已經(jīng)學(xué)習(xí)了求簡(jiǎn)單基本圖形的面積公式，以及圖形的簡(jiǎn)單割補(bǔ)，因此對(duì)圖形面積的計(jì)算具有一定的基礎(chǔ)，由于在探究勾股定理的正確性時(shí)，要求學(xué)生具有較高的空間圖形概念. 因此學(xué)生的現(xiàn)有能力與本節(jié)學(xué)習(xí)要求還有一定的差距.
二、教學(xué)過程
（一）結(jié)合生活，引入課題
利用多媒體展示生活中直角三角形的案例，如電線桿拉線、木棒斜靠在墻上、學(xué)生用的三角板等，通過圖片激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 在觀看圖片時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的直角三角形的相關(guān)知識(shí)，然后提出問題：“直角三角形的三邊之間是否存在某種特殊的關(guān)系？”由此引入本課題，板書“探索勾股定理”.
設(shè)計(jì)意圖 對(duì)直角三角形定義以及直角三角形的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)有了一定的了解，這里讓學(xué)生通過欣賞圖片，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 通過這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷將生活中的事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過程，提高學(xué)生的空間概念. 在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生了解本節(jié)課的主題是研究直角三角形三邊之間的關(guān)系.
（二）交流合作，探究新知
1． 探索勾股定理
給每名同學(xué)發(fā)下一張白紙，以四名同學(xué)為一個(gè)小組，同學(xué)之間進(jìn)行分工合作，每個(gè)學(xué)生按要求畫三角形. 要求盡量準(zhǔn)確地在紙上作出相應(yīng)的一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為：
第一名同學(xué)：3厘米和4厘米； 第二名同學(xué)：6厘米和8 厘米；
第三名同學(xué)：5厘米和12厘米；第四名同學(xué)：9厘米和12厘米.
并且測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，結(jié)果保留整數(shù)，并通過計(jì)算填寫表格.
觀察表中a2 ＋ b2與c2兩列的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)之間的關(guān)系嗎？
小組討論，并且得出結(jié)論：a2 ＋ b2 ＝ c2.
設(shè)計(jì)意圖 通過以小組為單位合作學(xué)習(xí)，有利于加強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，在學(xué)習(xí)中相互合作，在合作中相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短. 同時(shí)通過學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理，有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力和探索發(fā)現(xiàn)能力. 四名同學(xué)每人作一個(gè)直角三角形，有利于在較短的教學(xué)時(shí)間內(nèi)作出較多的直角三角形，從而探索出勾股定理.
2． 探究勾股定理的正確性
以小組為單位，用四塊相同的直角三角板（或者四塊相同的直角三角形紙片）拼一個(gè)大的正方形，其中間空出一個(gè)小的正方形，然后通過它們面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證上面探究出的等量關(guān)系.
課堂預(yù)設(shè) 本環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生來說有一定的難度，為保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生操作.
當(dāng)小組合作差不多時(shí)，在屏幕上展示拼湊方法有兩種：圖1和圖2.
分析：運(yùn)用等積法，圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加上小正方形的面積，即得：c2 ＝ 4 × ■ab ＋ （b － a）2，化簡(jiǎn)，得c2 ＝ a2 ＋ b2.
圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加上小正方形的面積，即得（a ＋ b）2 ＝ 4 × ■ab ＋ c2，化簡(jiǎn)，得a2 ＋ b2 ＝ c2.
設(shè)計(jì)意圖 用直角三角形來驗(yàn)證勾股定理，對(duì)學(xué)生來說有一定的難度. 因此這里設(shè)計(jì)小組活動(dòng)，可以發(fā)揮集體智慧的作用，避免基礎(chǔ)較差學(xué)生因難度太大而無所事事. 同時(shí)通過本環(huán)節(jié)讓學(xué)生樹立“任何猜想需要通過驗(yàn)證后才能作為正確結(jié)論”的觀念，理解勾股定理可由等積法得到驗(yàn)證.
3． 揭示勾股定理
在上兩個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，教師給出勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2 ＋ b2 ＝ c2.
同時(shí)介紹數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的. 中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三邊都為整數(shù)的最小直角三角形的三邊長(zhǎng)為3，4，5，因此有勾三、股四、弦五之說. （勾股定理在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）
設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)環(huán)節(jié)旨在揭示本節(jié)課的主題：勾股定理，讓學(xué)生掌握. 同時(shí)通過介紹數(shù)學(xué)小史，讓學(xué)生感受中國(guó)之偉大，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情.
（三）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，鞏固所學(xué)
1． 人人都是“小老師”
例1 已知ABC中，∠C ＝ 90°，AB ＝ c， BC ＝ a， AC ＝ b，
（1）如果a = 1,b = 2，求c；（答案：■）
（2）如果a ＝ 15，c ＝ 17 求b；（答案： 8 ）
以同桌的兩名同學(xué)為小組，在學(xué)生各自完成例題解答后，小組間相互交換批改，并且討論遇到的問題. 如有學(xué)習(xí)困難的同學(xué)，小組成員負(fù)責(zé)幫助指導(dǎo).
鞏固所學(xué)：比一比誰最快.
（1）直角三角形的兩直角邊為6和8，則斜邊為 .
（答案：10 ）
（2）直角三角形的兩直角邊為2和3，則斜邊為 .
（ 答案：■）
（3）直角三角形的兩條邊為3和4，則這個(gè)直角三角形的第三邊長(zhǎng)為 . （答案：5或■）
設(shè)計(jì)意圖 通過本例，試圖讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運(yùn)用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)，為運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題打下良好的基礎(chǔ). 這里以二人小組進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，既方便組合，提高學(xué)習(xí)效率，又有利于同學(xué)之間的相互幫助. 通過同學(xué)之間的相互探討，可以使學(xué)習(xí)困難的學(xué)生得到及時(shí)的幫助，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心，提高他們的學(xué)習(xí)積極性. 通過一組練習(xí)題，進(jìn)一步鞏固勾股定理和運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，是現(xiàn)炒現(xiàn)買，尤其是已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)時(shí)，有兩種情況，需進(jìn)行分類討論.
2． 學(xué)以致用
例2 如圖3，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長(zhǎng)的鋼纜，求地面鋼纜固定點(diǎn)A到電桿底部B的距離．
設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是應(yīng)用，學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的目的是為了應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題. 因此設(shè)計(jì)本例讓學(xué)生學(xué)會(huì)將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，認(rèn)識(shí)到知識(shí)來源于生活，也必將應(yīng)用于生活. 同時(shí)本例也很好地呼應(yīng)引入時(shí)的問題.
例3 如圖4，是一個(gè)長(zhǎng)方形零件，根據(jù)所給尺寸（單位：毫米），求兩孔中心A，B之間的距離.
設(shè)計(jì)意圖 本例是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何構(gòu)造出直角三角形，并且運(yùn)用所學(xué)的勾股定理加以解決. 由于學(xué)生對(duì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力不是很強(qiáng)，教師在實(shí)際教學(xué)過程中要及時(shí)引導(dǎo). 通過本例練習(xí)可以讓學(xué)生掌握解決問題的方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
（四）課堂小結(jié)，學(xué)生主角
1． 通過本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？
2． 在本節(jié)課中你有哪些認(rèn)識(shí)和收獲？
設(shè)計(jì)意圖 本小節(jié)采用了學(xué)生自主小結(jié)的方法，讓學(xué)生從知識(shí)、能力和情感等多角度進(jìn)行小結(jié). 通過知識(shí)層面的小結(jié)使學(xué)生把一堂課所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，有利于對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握. 通過認(rèn)識(shí)和收獲的小結(jié)，可以使學(xué)生再次梳理自己的情感思維，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激勵(lì)學(xué)生的的探索精神.
三、設(shè)計(jì)反思
優(yōu)秀的課堂教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)是通過課堂教學(xué)使各類教學(xué)目標(biāo)得以圓滿達(dá)成. 而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，一個(gè)重要環(huán)節(jié)便是教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)是優(yōu)秀課堂教學(xué)的前提和保證. 通過本教學(xué)設(shè)計(jì)使我深深感受到要設(shè)計(jì)合作學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方式并不難，但是要設(shè)計(jì)切實(shí)可行且具有較好學(xué)習(xí)效果的教學(xué)方案，卻有較大難度.
基于這些理由，本文選取在國(guó)內(nèi)被廣泛使用的人民教育出版社、華東師范大學(xué)出版社和北京師范大學(xué)出版社出版的三套《數(shù)學(xué)》教科書，從微觀層面來考察其中“勾股定理”部分的編寫. 在研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)一些由于編寫者疏落或失誤造成的問題. 這些問題有可能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)及今后的發(fā)展產(chǎn)生一定的負(fù)面影響. 那么我們有必要指出這些錯(cuò)誤，并希望編寫者在教科書修訂時(shí)做出修正和改進(jìn).
1 引言的設(shè)計(jì)
三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數(shù)學(xué)》，放置了2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)場(chǎng)的照片，其中會(huì)徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：
后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系嗎?
筆者認(rèn)為這段話存在兩個(gè)問題. 第一，在引言部分就把結(jié)論明確地告訴學(xué)生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結(jié)論告訴學(xué)生后再問學(xué)生你能發(fā)現(xiàn)它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個(gè)已經(jīng)吃好飯的人，你想吃飯嗎?
我們認(rèn)為，引言可以提出一個(gè)具體的問題情境來導(dǎo)入本章的學(xué)習(xí)，也可以給出本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生明確這一章要學(xué)習(xí)什么. 但不可以把需要探究和猜想的結(jié)論展現(xiàn)在學(xué)生面前.
圖1
人教社版《數(shù)學(xué)》還有一處類似的錯(cuò)誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個(gè)小錯(cuò)誤對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也許不會(huì)產(chǎn)生大的影響，但是作為國(guó)家權(quán)威教科書出版單位，犯如此低級(jí)的錯(cuò)誤也是不應(yīng)該的.
2 定理的發(fā)現(xiàn)
數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦? 不過，在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上有兩個(gè)難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學(xué)生很難自行探究，尋得解決的方法.[2]教師通常是依據(jù)教科書來進(jìn)行教學(xué)的，那么，我們來看一下教科書是如何設(shè)計(jì)的.
華師大版《數(shù)學(xué)》第48頁(yè)安排了“試一試”：
測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：
根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、b、c之間的關(guān)系.
筆者認(rèn)為，這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長(zhǎng)很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生猜想三邊長(zhǎng)分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是十分容易的事(比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學(xué)生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何況來猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 教科書這樣設(shè)計(jì)和處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費(fèi)了不少時(shí)間，而且沒有多大意義和價(jià)值.
3 勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”而非“發(fā)明”的
華師大版《數(shù)學(xué)》第55頁(yè)安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：
人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷過一個(gè)從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻(xiàn)中都有記載，很難區(qū)分這個(gè)定理是誰最先發(fā)明的. 國(guó)外一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱為畢達(dá)哥拉斯定理.
這里有兩處錯(cuò)誤. 第一，勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”還是“發(fā)明”的?我們知道，發(fā)明是創(chuàng)造，一種從無到有的過程；而發(fā)現(xiàn)是一種本來就有，從不認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)的過程. 那么，數(shù)學(xué)定理的證明方法，可以是一種從無到有的發(fā)明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發(fā)現(xiàn)的. 教科書中一段話里對(duì)定理的產(chǎn)生使用了發(fā)明和發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)詞語(yǔ)，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)定理，而是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)史上有明確記載，畢達(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先證明該定理，才被稱為畢達(dá)哥拉斯定理的. 同樣的錯(cuò)誤，我們可以在人教社版《數(shù)學(xué)》上看到，第74頁(yè)有個(gè)小標(biāo)簽，上面寫著：
在西方，一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理.
相比較而言，北師大版《數(shù)學(xué)》則相對(duì)比較準(zhǔn)確. 第8頁(yè)有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：
相傳兩千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.
4 問題情境應(yīng)避免“人為”的創(chuàng)設(shè)
北師大版《數(shù)學(xué)》設(shè)置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：
強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?
對(duì)于這一問題，如果考慮該題的現(xiàn)實(shí)性和科學(xué)性，橫向的“12米”是容易測(cè)量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測(cè)量的話，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測(cè)量(唯一難測(cè)量的情況就是尺子的長(zhǎng)度大于12米而小于15米). 所以這個(gè)問題的設(shè)計(jì)并不合理. 相對(duì)而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數(shù)學(xué)》第50頁(yè)在給出勾股定理后安排了例1：
如圖(圖略)，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)
這里，梯子的長(zhǎng)度是容易測(cè)量的，BC的長(zhǎng)度也是容易測(cè)量的，而垂直距離AB確實(shí)是難測(cè)量的. 因?yàn)殡y以測(cè)量，我們便求助于計(jì)算，求助于數(shù)學(xué). 這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是有用的.
我們?cè)賮砜幢睅煷蟀妗稊?shù)學(xué)》第9頁(yè)例1：
我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?
從情境的合理性和科學(xué)性角度考慮，這一題應(yīng)該問題不大；但我們來看另外一題：
飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米. 飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米?
這一題出現(xiàn)在修訂前的北師大版《數(shù)學(xué)》中，與前一題在本質(zhì)上是一模一樣的. 如果考慮一下這個(gè)4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測(cè)到的，就不難明白，為什么教科書修訂時(shí)把這一題改成前一題了.
我們?cè)賮砜匆活}，北師大版《數(shù)學(xué)》第3節(jié)《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習(xí)”：
甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn). 某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向正東行走. 1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠(yuǎn)?”
我們?cè)谝槐久绹?guó)的幾何教材《發(fā)現(xiàn)幾何》第9.3節(jié)的練習(xí)B中看到了這道題目的原型[3]：
在火星正午時(shí)間，朗達(dá)?本德博士離開美國(guó)火星研究站，以60千米/時(shí)向東行進(jìn). 1小時(shí)后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時(shí)向北行進(jìn)，去觀察極地冰帽. 火星時(shí)間下午3時(shí)，博士與教授相距多遠(yuǎn)?答案精確到千米.
從這兩個(gè)問題的表述上看，《發(fā)現(xiàn)幾何》比北師大版《數(shù)學(xué)》更具想象和充滿冒險(xiǎn). 北師大版《數(shù)學(xué)》只把學(xué)生帶進(jìn)沙漠，而《發(fā)現(xiàn)幾何》卻把學(xué)生帶到了火星. 北師大版《數(shù)學(xué)》是讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，或者說是“做數(shù)學(xué)”；而《發(fā)現(xiàn)幾何》不僅是“做數(shù)學(xué)”，更是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問題，而這個(gè)過程是充滿樂趣的.
筆者這里舉了幾個(gè)例子，是想說明教科書編寫者在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)采用不同的觀念，有的是為數(shù)學(xué)而問題，有的是為學(xué)生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導(dǎo)致習(xí)題是“人為”還是“為人(學(xué)生)”的區(qū)別. 比如，“人為”的問題，為數(shù)學(xué)而問題，問題都是圍繞數(shù)學(xué)而編寫、杜撰的(前文那個(gè)“旗桿問題”就是為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)). 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，完美的，但它也許遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，也遠(yuǎn)離了學(xué)生的想象世界. 事實(shí)上，教科書在編寫時(shí)，應(yīng)該從學(xué)生出發(fā)，考慮問題情境的科學(xué)性和合理性，避免出現(xiàn)“人為”的題目.
5 趙爽的證明方法
趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數(shù)學(xué)史研究中是有爭(zhēng)議的. 錢寶琮先生認(rèn)為他采用代數(shù)方法，利用面積計(jì)算；而吳文俊、李文林先生則認(rèn)為他采用幾何方法，利用出入相補(bǔ)原理. 事實(shí)上，代數(shù)觀點(diǎn)比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時(shí)代的人們的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.
我們看到，對(duì)這樣未形成定論的內(nèi)容，教科書在處理時(shí)卻顯得有些草率.
人教社版《數(shù)學(xué)》在73頁(yè)，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補(bǔ)原理來證明的.
華師大版《數(shù)學(xué)》在52頁(yè)安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計(jì)算面積驗(yàn)證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯(lián)系上下文，容易讓學(xué)生認(rèn)為趙爽是使用代數(shù)方法證明勾股定理.
北師大版《數(shù)學(xué)》第8頁(yè)和第9頁(yè)介紹了證明方法，將大正方形分割成四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形，然后通過計(jì)算面積驗(yàn)證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認(rèn)為他是采用代數(shù)方法. 其后12頁(yè)介紹了劉徽用出入相補(bǔ)原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.
我們認(rèn)為，對(duì)于未有定論的內(nèi)容，教科書就不應(yīng)該草率地把某種觀點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生，不可以對(duì)學(xué)生說，趙爽就是用這種代數(shù)方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補(bǔ)原理證明的. 數(shù)學(xué)教科書在涉及數(shù)學(xué)史時(shí)要特別注意一個(gè)問題，即在向?qū)W生展示史實(shí)，展示重要事件、重要人物與重要成果時(shí)，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現(xiàn)歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導(dǎo)學(xué)生，對(duì)有爭(zhēng)議的以及沒有最終定論的題材應(yīng)給學(xué)生必要的說明. [4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點(diǎn)介紹其中一種證法，隨后簡(jiǎn)單介紹另一種，同時(shí)聲明本書傾向于前一種觀點(diǎn)；而學(xué)生可以接受前一種，也可以是后一種觀點(diǎn). 不過，不管是哪一種，學(xué)生都應(yīng)該經(jīng)過自己的思考，要有接受這一觀點(diǎn)的理由.
參考文獻(xiàn)
[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學(xué)視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顧泠沅.教學(xué)改革的行動(dòng)與詮釋[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
教學(xué)目標(biāo)：
1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，感受數(shù)學(xué)問題由“觀察――猜想――驗(yàn)證――論證”的科學(xué)研究方法，體會(huì)數(shù)學(xué)問題中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
2.能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問題。
教學(xué)重點(diǎn)：探究勾股定理探索并證明勾股定理。
教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的探究和證明。
教學(xué)過程：
老師導(dǎo)入語(yǔ)：同學(xué)們，我們今天來玩游戲吧！我設(shè)置了一個(gè)闖關(guān)游戲，分為五關(guān)，每關(guān)都設(shè)有相應(yīng)的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎(jiǎng)哦！請(qǐng)看第一關(guān)：眼力大比拼。
設(shè)計(jì)意圖：重視引言教學(xué)，以游戲名義開始教學(xué)，吸引學(xué)生的興趣。
第一關(guān)：眼力大比拼――【導(dǎo)入】
問1：這是我家的地板，請(qǐng)觀察上圖中三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？
問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關(guān)系？
結(jié)論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。
設(shè)計(jì)意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)問題來源于生活，而且處處都可以發(fā)現(xiàn)問題。
老師：第一關(guān)你們闖關(guān)成功。通過第一關(guān)我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會(huì)有什么猜想呢？
第二關(guān)：大膽猜想
老師：你們會(huì)有什么猜想呢？
學(xué)生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)，大膽猜想，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
第三關(guān)：驗(yàn)證猜想
【探究一】
請(qǐng)測(cè)量下列直角三角形的三邊長(zhǎng)，并分別計(jì)算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。
老師：為節(jié)約時(shí)間，我指定第1，2小組測(cè)量圖（1）；第3，4組測(cè)量圖（2）；第5，6組測(cè)量圖（3）；測(cè)完后各小組派個(gè)代表報(bào)數(shù)，并說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能不能證猜想。
設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)驗(yàn)操作，來驗(yàn)證猜想；通過參與驗(yàn)證的過程，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
老師：我現(xiàn)在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個(gè)直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長(zhǎng)度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數(shù)據(jù)的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
老師：通過幾何畫板可以畫出無數(shù)個(gè)的直角三角形，這些三角形是否驗(yàn)證了我們的猜想關(guān)系式？
設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，實(shí)驗(yàn)只能驗(yàn)證猜想，還需要理論論證。
第四關(guān)：論證猜想
拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個(gè)特殊的圖形。
游戲規(guī)則：（1）以4個(gè)全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個(gè)是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內(nèi)完成。
老師：小組進(jìn)行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學(xué)生基本上會(huì)拼出兩種圖形：
老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請(qǐng)小組講解）
小組通過面積關(guān)系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
設(shè)計(jì)意圖：展示小組合作能力；發(fā)展學(xué)生的形象思維；體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
學(xué)習(xí)勾股定理后，用語(yǔ)音播放勾股定理的發(fā)展歷史，及我國(guó)古代的前輩們?cè)缭诠?000多年前就發(fā)現(xiàn)了勾股定理。
設(shè)計(jì)意圖：了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感。
思考：（公式變形）
在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：
（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生要掌握勾股定理的變形，體會(huì)勾股定理可以用來求直角三角形的邊長(zhǎng)。
第五關(guān)：知識(shí)應(yīng)用大比拼
1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。
（1）若a=6，b=8，則c=_____。
（2）若c=3，b=2，則a=_____。
（3）若c=4，a=3，則b=_____。
2.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判斷對(duì)錯(cuò)：若a、b、c為RtABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）
設(shè)計(jì)意圖：考察學(xué)生能否掌握勾股定理的表達(dá)式，體驗(yàn)強(qiáng)調(diào)直角的重要性；以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。
4.如圖，受臺(tái)風(fēng)彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生親身經(jīng)歷的生活背景，來考察勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。
小結(jié)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)這節(jié)課體會(huì)的從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗(yàn)證，論證。
設(shè)計(jì)意圖：感悟數(shù)學(xué)思想，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。
一、方程思想
方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，運(yùn)用定義、公式、性質(zhì)、定理和已知條件、隱含條件，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思想方法.在勾股定理教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生方程思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)設(shè)直角三角形的一邊為x，再用x的代數(shù)式表示其他邊，然后根據(jù)“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解決問題.
【例1】 如圖1，ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分線，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的長(zhǎng).
解：設(shè)CE=xcm，AC=4cm，
AE=AC-CE=（4-x）cm，
通過以上設(shè)計(jì)的例題教學(xué)，一方面增強(qiáng)了學(xué)生探究的興趣，另一方面也訓(xùn)練了學(xué)生如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建模的能力.如此設(shè)計(jì)例題教學(xué)符合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀，符合高中階段學(xué)生的思維特征，能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，讓例題教學(xué)的質(zhì)量更高.
四、化歸思想
化歸思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的一種方法.教育家波利亞曾經(jīng)說過：“解數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，就是把那些陌生的、較為困難或復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題，通過某種轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為某些熟悉的、已經(jīng)解決的或容易解決的數(shù)學(xué)問題.”因此，教師在教學(xué)過程中要注意滲透轉(zhuǎn)化思想，從而提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題的能力.
【例4】 如圖4，一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長(zhǎng)是（ ）.
連接EF，在RtEBF中，根據(jù)勾股定理得
BE2+BF2=EF2.
∠DCE=45°，
∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，
CDE≌CFE，
DE=EF，
關(guān)鍵詞教育改革；新課程；應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教材各章中都介紹了相關(guān)的數(shù)學(xué)史，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的逐步推進(jìn)，數(shù)學(xué)史漸漸受到教師的重視，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的重要作用逐漸凸顯出來．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)囊霐?shù)學(xué)史能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美，并且能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，增強(qiáng)他們的民族自豪感。因此，引入了教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史會(huì)極大的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)大有裨益。下面結(jié)合實(shí)際教學(xué)中數(shù)學(xué)史的一些應(yīng)用案例，談一談我對(duì)于這個(gè)問題的一點(diǎn)看法。
一、依據(jù)教材特點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)是自然融入課堂教學(xué)
園是一個(gè)歷史悠久的課題，生活中到處都能見到他的身影，對(duì)于圓的認(rèn)識(shí)，人類從6000多年前就開始了，講課中適當(dāng)?shù)囊胗嘘P(guān)史料，作為教材知識(shí)的補(bǔ)充和延伸。在講解圓的定義和性質(zhì)是，我向?qū)W生介紹，2000多年前我國(guó)的墨子就給出了圓的概念“圓，一中同長(zhǎng)也。”即：圓周上的各點(diǎn)到圓心的距離相等。這個(gè)概念不僅和歐幾里得所給的概念相似，并且比之早了100多年。又如圓的另一些知識(shí)，我都用了比較簡(jiǎn)潔的幾句話想學(xué)生介紹了關(guān)與它們的數(shù)學(xué)史。隨著這一章教材的不斷展開，同學(xué)們對(duì)我國(guó)古代在相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展概貌有個(gè)初步的了解，明白我國(guó)古代就對(duì)這些內(nèi)容有了比較全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。特別是早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了論證幾何學(xué)的萌芽，幾乎與古希臘的幾何學(xué)同時(shí)產(chǎn)生。這樣，讓數(shù)學(xué)史自然而然的融入課堂教學(xué)，提高了學(xué)生的積極性，達(dá)到了良好的教學(xué)效果。
二、結(jié)合教材內(nèi)容，選擇前擋的數(shù)學(xué)史料使之貼近教學(xué)內(nèi)容
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它競(jìng)相證明，這也許是因?yàn)樗戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人。關(guān)于勾股定理的知識(shí)在《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《幾何原本》等書中都有記載，其中《周髀算經(jīng)》中記錄了商高曾說過：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5?！睆纳厦嫠倪@段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。講授勾股定理這一知識(shí)時(shí)，我把這段話向?qū)W生做了介紹，并與教材中的“畢達(dá)哥拉斯定理的傳說”作了對(duì)比，讓學(xué)生了解到我國(guó)對(duì)于勾股定理的認(rèn)識(shí)比西方早了五百多年，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和增強(qiáng)了他們的民族自豪感。在對(duì)勾股定理進(jìn)行證明時(shí)，采用了三國(guó)時(shí)期的趙爽利用他所創(chuàng)制的“勾股圓方圖”證明勾股定理的方法。這一恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料不僅使得教學(xué)過程簡(jiǎn)潔明了，而且對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛國(guó)主義教育，可謂選材精巧，打到了一箭雙雕的效果。
三、讓數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中多樣化的呈現(xiàn)，提高教學(xué)效果
初中學(xué)生的邏輯思維能力還不是太強(qiáng)，因此需要通過直觀、操作等手段幫助學(xué)生理解抽象的幾何關(guān)系與演繹邏輯．而借助中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車等為載體抽象出來的幾何圖形，通過拼圖能直觀地驗(yàn)證勾股定理，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)尤其是抽象思維能力較弱的學(xué)生而言是極為重要的，降低了思維難度，但同時(shí)又提高了學(xué)生的參與度、興趣與信心．其次，密切數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)．在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，學(xué)生學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其生活是相互割裂的．這樣的學(xué)習(xí)也造成了很大的教育問題，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)未能被正當(dāng)?shù)刭x值，甚至有人還提出數(shù)學(xué)無用論．因此，在教學(xué)中需要借助學(xué)生生活中常見的素材，并由此學(xué)習(xí)這些素材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素與數(shù)學(xué)關(guān)系，這也即是“數(shù)學(xué)生活化”的教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯．這即是指，教師首先確立的是“勾股定理”這一數(shù)學(xué)維度上的學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后尋找到如中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車等生活中常見的素材，并使之融入到教學(xué)之中，以實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)生活化”．再次，為了學(xué)生文化浸潤(rùn)式的學(xué)習(xí)．除了密切學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)之外，還要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的文化厚重感．即借助富有中國(guó)傳統(tǒng)特色的中國(guó)結(jié)、流傳歷史悠久的紙風(fēng)車來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生產(chǎn)生歷史厚重感．
二是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理之后，向?qū)W生展現(xiàn)中國(guó)結(jié)和紙風(fēng)車圖片，要求學(xué)生抽象出其中的數(shù)學(xué)元素，并由此探索這些數(shù)學(xué)元素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系．與前一種將文化素材作為驗(yàn)證勾股定理的載體不同，這里將其后置到定理學(xué)習(xí)之后作為拓展性的問題讓學(xué)生探索．這種用法的價(jià)值除了具有前述“密切數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)系”、“為了學(xué)生文化浸潤(rùn)式的學(xué)習(xí)”等兩個(gè)方面之外，還有以下意義．首先，為了知識(shí)的鞏固與活化．學(xué)生在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，除了常規(guī)的練習(xí)之外，事實(shí)上更重要的是要將知識(shí)遷移到類似的但又不那么封閉與明確的情境之中．后者不僅在于鞏固知識(shí)，同時(shí)也使知識(shí)得到活化．因?yàn)?，無論是中國(guó)結(jié)還是紙風(fēng)車，都需要學(xué)生作一定程度的數(shù)學(xué)化，并將不熟悉的問題化歸為剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理相關(guān)的問題，顯然這就不僅僅是知識(shí)的鞏固了．其次，從教育目標(biāo)的角度來看，這種做法還期待培養(yǎng)學(xué)生“生活數(shù)學(xué)化”的能力．關(guān)于數(shù)學(xué)價(jià)值，不同的人也許有著不同的理解．但顯見的是，在數(shù)學(xué)上研究越深入的人越能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值．造成這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因在于，數(shù)學(xué)的價(jià)值有時(shí)是非常內(nèi)隱的，甚至很難為人所感知的．如果在教學(xué)中不去挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值，有時(shí)就會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)，甚至?xí)J(rèn)為數(shù)學(xué)只是用于計(jì)算．也正因如此，我們強(qiáng)調(diào)這些文化素材在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以應(yīng)用，就是希望所培養(yǎng)的學(xué)生能逐漸擁有用數(shù)學(xué)思考問題的意識(shí)和習(xí)慣，擁有用數(shù)學(xué)更好地組織生活的能力．
就本案例而言，中國(guó)結(jié)與紙風(fēng)車都是我們文化生活中所常見的，但我們更習(xí)慣于用工藝品(或藝術(shù)品)的角度來理解，而很少會(huì)從數(shù)學(xué)的角度研究這類物品．但事實(shí)是，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的角度來理解生活中的這些事和物的時(shí)候，往往能帶來驚喜:原來我們身邊處處有數(shù)學(xué)．再次，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．過去我們所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣往往指的是學(xué)生伏在案頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣．我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣除了上述方面外，一個(gè)更高的層次是學(xué)生隨時(shí)而自然地會(huì)想著用數(shù)學(xué)的角度思考問題．后者當(dāng)然是理想的狀態(tài)，但教學(xué)中的有意識(shí)培養(yǎng)也能幫助學(xué)生朝著這個(gè)方向前進(jìn)．其中一個(gè)重要的培養(yǎng)策略就是讓學(xué)生嘗試探索也許表面上與數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的素材中的數(shù)學(xué)元素，除了中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車，還有包括建筑物等素材．需要進(jìn)一步說明的是，與前一種用法相比，這種用法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求也更高，當(dāng)然所培養(yǎng)的探索能力也會(huì)更強(qiáng)一些．