時(shí)間：2023-09-14 17:39:21
導(dǎo)語(yǔ)：在三角函數(shù)變換規(guī)律的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
自2007年湖南省全面進(jìn)入新課程標(biāo)準(zhǔn)教材教學(xué)以來(lái)，我們就高中數(shù)學(xué)必修5個(gè)模塊的呈現(xiàn)順序和呈現(xiàn)方式以課題研究形式進(jìn)行了有益的探索。不僅在呈現(xiàn)順序上，盡量保持舊教材的邏輯系統(tǒng)和知識(shí)體系，以適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和系統(tǒng)的知識(shí)學(xué)習(xí)和掌握，同時(shí)考慮到教學(xué)在學(xué)習(xí)其他學(xué)科中的工具性，調(diào)整優(yōu)先學(xué)習(xí)三角函數(shù)主干知識(shí)，以便于學(xué)生學(xué)習(xí)高一物理時(shí)能彰顯數(shù)學(xué)工具作用，以回歸舊教材數(shù)理多年磨合形成的協(xié)調(diào)一致性的整體推進(jìn)形式。為此，我們對(duì)5個(gè)必修模塊的呈現(xiàn)順序采用了1-4-2-5-3的模式。經(jīng)過(guò)近幾年教學(xué)實(shí)踐研究證明，這是一種較為合理的呈現(xiàn)順序。
（1）必修1后接著學(xué)習(xí)必修4有利于對(duì)基本初等函數(shù)有一個(gè)系統(tǒng)掌握。函數(shù)是初中階段學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，但初中是用變量與變量間關(guān)系來(lái)介紹函數(shù)概念的，其重點(diǎn)是研究函數(shù)解析式；而高中的函數(shù)概念則是在映射觀點(diǎn)下的對(duì)應(yīng)學(xué)，是建立在非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。它的表現(xiàn)形式除解析式外，還可以運(yùn)用圖象或列表。它的核心是三要素――定義域，對(duì)應(yīng)法則及值域，而且函數(shù)可由定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定。在此基礎(chǔ)上我們還研究了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等性質(zhì)，還學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)三種新的基本初等函數(shù)。回頭我們還用它們進(jìn)一步理解了函數(shù)的概念。但對(duì)于函數(shù)概念理解難以達(dá)到完美，這樣需要我們學(xué)習(xí)另一類基本初等函數(shù)――三角函數(shù)。與其他函數(shù)相比它是具有很多重要的特征，它以角為自變量，是周期函數(shù)，同時(shí)也是解決其他函數(shù)問(wèn)題的重要工具，與后續(xù)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容有聯(lián)系，是深化函數(shù)性質(zhì)的極好教材。因此，接著必修1后學(xué)習(xí)必修4讓我們對(duì)基本初等函數(shù)有一個(gè)整體掌握，形成一串牢固的知識(shí)鏈條。
（2）必修1后接著學(xué)習(xí)必修4有利于高一物理等學(xué)科的學(xué)習(xí)。新課程開(kāi)始幾年，我們按1-2-3-4-5順序安排5個(gè)必修模塊，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)物理需要的三角函數(shù)和向量的知識(shí)，要在高一第二學(xué)期才能學(xué)習(xí)，從而造成物理老師上數(shù)學(xué)課的現(xiàn)象。然后我們成立課題組，通過(guò)對(duì)按1-2-3-4-5和1-4-2-5-3兩種模式學(xué)科的不同年級(jí)進(jìn)行全面跟蹤研究后，發(fā)現(xiàn)后一種選課模式基本上解決了上物理課時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)滯后的問(wèn)題，從而真正實(shí)現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的“人人學(xué)會(huì)自己須用和會(huì)用的數(shù)學(xué)”的大眾數(shù)學(xué)理念。
2. 第一章三角函數(shù)部分知識(shí)點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)與生成后的思考
（1）任意角的三角函數(shù)的概念。三角函數(shù)概念的發(fā)展前后經(jīng)歷了4000多年，就初、高中教材體系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定義為直角三角形的邊長(zhǎng)之比。因此，初中討論“三角函數(shù)”僅限于三角形內(nèi)的三角函數(shù)。它解決的問(wèn)題限于平面圖形相關(guān)的幾何問(wèn)題。由于我們不能把任意角的三角函數(shù)看成銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），所以在高中學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)內(nèi)容應(yīng)該是以函數(shù)的眼光對(duì)待，把對(duì)它的學(xué)習(xí)作為理解函數(shù)一些性質(zhì)，如周期性。強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)是用于刻畫生產(chǎn)生活中周期性發(fā)生變化的一個(gè)經(jīng)典模型。為了建立角度集合與實(shí)數(shù)集間的一個(gè)對(duì)應(yīng)，教材引入了弧度制。接下來(lái)就用單位圖給出了任意角的三角函數(shù)。教學(xué)中，大多數(shù)教師從給學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)定義入手，然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)，這樣的方式會(huì)使學(xué)生覺(jué)得任意三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的一種推廣。這樣方法會(huì)有以下不足：①?zèng)]有講明高、初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)研究方法本質(zhì)上不同，容易引起概念的混淆。②沒(méi)有利用好單位圖。其實(shí)單位圖是函數(shù)周期性的一個(gè)很好體現(xiàn)，它是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)逐步認(rèn)識(shí)三角函數(shù)周期性的重要模型。
理解三角函數(shù)概念我們要多視角，如幾何的、代數(shù)的、解析的等。教師的教學(xué)也不能將三角函數(shù)概念理解局限于一節(jié)課，一個(gè)章節(jié)里，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)更是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，因而在整個(gè)單元教學(xué)中應(yīng)做到反復(fù)重視學(xué)生對(duì)任意角的三角函數(shù)概念理解的情況，從而達(dá)到對(duì)函數(shù)概念理解的又一次升華。
（2）正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)。我們知道，實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以運(yùn)用度與弧度的互化建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦（或余弦）值，于是，給一個(gè)實(shí)數(shù)x，有唯一確定的值sinx （或cosx）與之對(duì)應(yīng)，由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域?yàn)镽。
《必修4》在講述三角函數(shù)后，將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作為正弦（型）函數(shù)圖象的教學(xué)情景和應(yīng)用。而普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)在選修模塊《選修3-4》才介紹簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。顯然，高一物理課程不講授簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此，高一第一學(xué)期教授學(xué)生三角函數(shù)時(shí)，將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作為正弦（型）函數(shù)圖象的教學(xué)情景應(yīng)用就不合適了。為此，我們采用圓周運(yùn)動(dòng)或教室里日光燈的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律作為教學(xué)的情景，因?yàn)樗鼈兊淖兓汲尸F(xiàn)了周期性規(guī)律。
通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)或例子，對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象形成一個(gè)較直觀的印象后，我們運(yùn)用單位圖中的正弦線來(lái)畫比較精確的正弦函數(shù)圖象。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和實(shí)踐操作能力，首先我們課前設(shè)計(jì)了一個(gè)3～4分鐘時(shí)間可播放完的“微視頻”，將運(yùn)用單位圖中的正弦線畫正弦函數(shù)圖象分步展示給同學(xué)。在實(shí)驗(yàn)操作完備后展示給同學(xué)們課堂上集中觀看“微視頻”。當(dāng)視頻播放結(jié)束后，我們把預(yù)先設(shè)計(jì)好并打印的坐標(biāo)紙發(fā)給每一個(gè)學(xué)生，給學(xué)生5分鐘時(shí)間完成用單位圖中的正弦線作y=sinx，x∈[0，2π]， 的圖象。當(dāng)時(shí)學(xué)生表現(xiàn)出十分高的學(xué)習(xí)熱情。制圖完成后抽樣展示時(shí)發(fā)現(xiàn)都完成得十分認(rèn)真。當(dāng)老師再此提出如何獲得y=sinx，x ∈R的圖象時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)能回答出將圖象左、右平移（每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度）即可。這都是前面的實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)出重復(fù)次數(shù)的周期性規(guī)律的成果。至于由y=sinx，x∈R的圖象獲得y=cosx，x∈R的圖象，學(xué)生們還回答出通過(guò)單位圖中余弦線或由公式cosx=sin，將y=sinx向左平移即得。
當(dāng)然，這堂課的最后成果不僅僅是獲得正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，而是從圖象上觀察出5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)決定正弦函數(shù)和與弦函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的圖象上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)為（0，0），（π，0），（2π，0），在精確度要求不太高時(shí)，找出了這五個(gè)點(diǎn)，再用光滑曲線連接，就可以得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖。這就形成了今后我們研究正弦（型）和余弦（型）函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖的通法“五點(diǎn)法”。本堂課產(chǎn)生知識(shí)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)是：實(shí)驗(yàn)―嘗試―探究―提煉。四步驟體系新課程標(biāo)準(zhǔn)課堂教學(xué)以學(xué)生為本，以學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)為本的理念。貫穿于教學(xué)全過(guò)程就是教師主體引導(dǎo)下的學(xué)生主體活動(dòng)由淺入深地連續(xù)開(kāi)展，更符合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的手段研究函數(shù)的一般規(guī)律。
（3）函數(shù)y=Asin（？Ax+？漬）的圖象。在A>0，？A>0的條件下，如何由y=sinx 的圖象經(jīng)變換獲得y=Asin（？Ax+？漬）的圖象呢？教材上在探究每種變換時(shí)，并沒(méi)有用具體例子通過(guò)人工畫圖象后提煉規(guī)律，而是運(yùn)用電腦軟件――幾何畫板的功能代替了，這樣過(guò)程令學(xué)生眼花繚亂，其變換規(guī)律難以體驗(yàn)到位。因此，在我們的教學(xué)中，對(duì)于每種變換我們均設(shè)計(jì)例子并引導(dǎo)學(xué)生在課堂上動(dòng)手用五點(diǎn)法操作，然后再結(jié)合電腦動(dòng)畫進(jìn)一步體驗(yàn)規(guī)律。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)表面上因讓學(xué)生動(dòng)手操作花了一些時(shí)間而“降低了”課堂效益，其實(shí)際上經(jīng)學(xué)生動(dòng)手的過(guò)程體驗(yàn)而形成了理解性的知識(shí)規(guī)律，最后引導(dǎo)學(xué)生探討“圖象變換”法的具體過(guò)程。如何由y=sinx的圖象經(jīng)歷平移變換和伸縮變換得到y(tǒng)=Asin （？Ax+？漬）的圖象，每經(jīng)歷一部變換，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)須作相應(yīng)的變換，每一步變換卻抓住了這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到的簡(jiǎn)圖就可據(jù)“五點(diǎn)法”畫出。這樣學(xué)生不但掌握了研究這類函數(shù)圖象的兩類方法，而且了解了兩類方法各自作用和互相聯(lián)系性。
3. 教學(xué)后的啟示與反思
（1）數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有獨(dú)立處理教材，研究并合理運(yùn)用好教材的能力，而不是照本宣科。隨著新課程改革向縱深發(fā)展，從傳統(tǒng)的“教教材”到現(xiàn)在的“用教材教”理念的轉(zhuǎn)變已經(jīng)深入人心。教材僅是課程標(biāo)準(zhǔn)下提供給教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的一個(gè)重要載體，但不是唯一載體。
在教學(xué)中，我們既考慮如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。這就是需要吃透課程標(biāo)準(zhǔn)的前提下深入研究并發(fā)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的東西，尤其是考慮到“因材施教”，對(duì)于教材一些“啟”而未“發(fā)”的內(nèi)容，我們可考慮重新按認(rèn)知觀設(shè)計(jì)教學(xué)，教師做到對(duì)教材上一些概念、定理、公式、法則充分理解的前提下傳授給學(xué)生。比如：在研究三角函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，學(xué)生總是吃不透函數(shù)單調(diào)性概念必須指明在特定的區(qū)間上，二者不可分割。因此出現(xiàn)有的同學(xué)提出y=sinx，x∈R在第一象限內(nèi)是增函數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師必須強(qiáng)調(diào)象限角不是區(qū)間角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)分別是減函數(shù)，而不能講y=在其他定義域內(nèi)是減函數(shù)為例，考慮它的定義域已經(jīng)不是獨(dú)立的區(qū)間了。文章第二部分提到幾個(gè)問(wèn)題，也正好是體現(xiàn)了“用教材教”的理念。
（2）教學(xué)設(shè)計(jì)與生成應(yīng)熟悉基本課型，規(guī)范操作須始終把學(xué)生的發(fā)展擺在首位。教學(xué)工作的主陣地是課堂。因此，學(xué)科教學(xué)能力是任何一個(gè)數(shù)學(xué)教師必須具備的基本能力。通常說(shuō)教學(xué)有法，教無(wú)定法。所謂“有法”就是指教學(xué)應(yīng)遵循一定教學(xué)規(guī)律與原則，每位數(shù)學(xué)教師應(yīng)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)基本課型“概念課”“習(xí)題課”“復(fù)習(xí)課”等進(jìn)行系統(tǒng)梳理與探究，形成個(gè)人課堂教學(xué)的風(fēng)格，而“教無(wú)定法”則是將其運(yùn)用在具體課時(shí)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與生成時(shí)做到“因時(shí)制宜”靈活使用。
如何在教師的教學(xué)工作中，始終將學(xué)生的發(fā)展放在首位？我想必須從以下幾點(diǎn)入手：①在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師必須站在教學(xué)者的角色上，按知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展及生成的認(rèn)知規(guī)律去思考教學(xué)的基本環(huán)節(jié)；②教學(xué)生成做到問(wèn)題引入盡量給出合適的情景，探究知識(shí)過(guò)程中通過(guò)預(yù)設(shè)好適合的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生充分思考后步步為營(yíng)朝知識(shí)產(chǎn)生的路徑推進(jìn)，切忌用師生交流替代生生間交流，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中同伴互助的團(tuán)隊(duì)精神，以達(dá)到既學(xué)習(xí)到學(xué)科知識(shí)，又提升了學(xué)科學(xué)習(xí)的文化素養(yǎng)，從而形成較完美的學(xué)習(xí)過(guò)程。尤其是課堂結(jié)束時(shí)的總結(jié)，更適合在學(xué)生間的交流與對(duì)話中形成，從而全面培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；③作為課堂學(xué)習(xí)的延伸，教師在布置學(xué)生課外作業(yè)時(shí)，一方面要做到基礎(chǔ)性與綜合性比例適當(dāng)，重視課本習(xí)題在鞏固知識(shí)與方法的基礎(chǔ)作用和引領(lǐng)作用，對(duì)于教輔上的習(xí)題，必須做到適當(dāng)?shù)娜∩?，考慮到學(xué)生層次差異可布置適合每層學(xué)生發(fā)展的習(xí)題；另一方面必須留出時(shí)間給學(xué)生對(duì)明天學(xué)習(xí)內(nèi)容的預(yù)習(xí)，必要時(shí)可給學(xué)生提供學(xué)習(xí)新知的自學(xué)提綱或突破知識(shí)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)的“微視頻”，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生預(yù)習(xí)的靈動(dòng)性，服務(wù)于明天的課堂。
（3）科學(xué)又適時(shí)的教學(xué)評(píng)價(jià)為師生教與學(xué)提供反思的素材。數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足工作實(shí)際，關(guān)注常態(tài)課堂。對(duì)于每一堂課，課前應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)分析，教學(xué)重難點(diǎn)確立，教學(xué)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)，板書合理設(shè)計(jì)等工作。同時(shí)在教學(xué)生成過(guò)程中，要適時(shí)用好學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程性評(píng)價(jià)，特別關(guān)注學(xué)生課堂上主動(dòng)思考后參與教師設(shè)問(wèn)的回答。參加課堂上學(xué)習(xí)小組的研討與交流及課堂上在教師指導(dǎo)下的練習(xí)成果展示，尤其是課堂上練習(xí)的評(píng)價(jià)，教師可改過(guò)去一問(wèn)一答的方式，而是通過(guò)一定數(shù)量的抽查，借助網(wǎng)絡(luò)直接傳送到教室媒體給大家展示，展示后的現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)評(píng)也無(wú)須由教師一個(gè)人包辦，可請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)點(diǎn)評(píng)并說(shuō)出自己的不同想法，讓整個(gè)課堂都動(dòng)起來(lái)。通過(guò)這種過(guò)程性評(píng)價(jià)，極大調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)能力，教師適時(shí)做好活動(dòng)后的推手，讓活動(dòng)在不斷培養(yǎng)學(xué)習(xí)成功的成就感中風(fēng)聲水起，學(xué)習(xí)過(guò)程的反思就會(huì)在這種全員參與過(guò)程中落到實(shí)處。上述活動(dòng)是否能達(dá)到目的，其中一個(gè)關(guān)鍵就是在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須設(shè)計(jì)好檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的目標(biāo)檢測(cè)題，在這些檢測(cè)題命制時(shí)是否領(lǐng)會(huì)了蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。因此，命制目標(biāo)檢測(cè)題必須圍繞教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)，更要體現(xiàn)試題層次性，如：研究y=Asin 圖象時(shí)，第一層次是“五點(diǎn)法”畫出它的圖象，屬基本題；第二層次是“變換法”由y=sinx圖象經(jīng)變換后得出它的圖象；第三層次則是逆向設(shè)計(jì)，即如何由y=Asin 的圖象經(jīng)變換得出y=sinx的圖象或者已知y=Asin 的圖象經(jīng)若干次線性變換后的解析式，求原函數(shù)y=Asin 的解析式，從而訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維式發(fā)散性思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維碎片的提升。
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；化簡(jiǎn)；求值；圖像；性質(zhì)；應(yīng)用
三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，每年都會(huì)在主觀題和客觀題上出現(xiàn)它的身影。三角函數(shù)具有一般函數(shù)的性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的特性――周期性和對(duì)稱性，使其產(chǎn)生并可以解決的問(wèn)題內(nèi)容多樣、豐富多彩。在每年的高考中，圍繞三角函數(shù)的考題具有新意，給人新穎的感覺(jué)，這已經(jīng)成為了高考命題的熱點(diǎn)。下面就三角函數(shù)在高考中如何考，談?wù)勛约旱膸c(diǎn)看法：
一、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、求最值
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及求最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 通過(guò)三角函數(shù)學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧，優(yōu)化學(xué)生的解題效果，做到事半功倍。
求值問(wèn)題的基本類型及方法：①“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時(shí)應(yīng)該仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，通常是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或相互抵消等方法進(jìn)行求解；②“給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)（式）的值，求另外的一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于：變角，使其角相同；③“給值求角”關(guān)鍵也是：變角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角；④化簡(jiǎn)求值。
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三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及求最值的難點(diǎn)在于：眾多的公式的靈活運(yùn)用和解題突破口的選擇，認(rèn)真分析所給式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個(gè)三角函數(shù)及角的相互關(guān)系是靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思維起點(diǎn)的關(guān)鍵所在。
二、三角形中的三角函數(shù)，即解三角形
分析近幾年的高考試卷，有關(guān)解三角形的問(wèn)題幾乎是每年必考內(nèi)容.試題主要是考查正、余弦定理及其變式或推論的內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用。解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運(yùn)用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理。
評(píng)注：三角函數(shù)與解三角形的綜合性問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn)。這類題型難度比較低，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保留，不會(huì)有太大改變。解決此類問(wèn)題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?/p>
三、三角函數(shù)與其他知識(shí)交匯的設(shè)計(jì)題和應(yīng)用題
此類問(wèn)題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)綜合問(wèn)題，如與平面向量、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合，多為解答題，考查三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用。對(duì)待應(yīng)用題沒(méi)有什么通解通法，只要認(rèn)真讀題、審題，合理分析已知量間的關(guān)系，總是能夠解決問(wèn)題。解決三角應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立適當(dāng)?shù)娜悄Ｐ停瑴?zhǔn)確無(wú)誤的計(jì)算等，其基本步驟如下：
第一步，閱讀理解，審清題意。讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字途徑，理解敘述所反映的實(shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
第二步，搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即建立三角函數(shù)模型。
第三步，利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)對(duì)得到的三角函數(shù)模型予解答，求得結(jié)果。
第四步，將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案。
關(guān)鍵詞：sinα±cosα；sinαcosα；關(guān)系
三角函數(shù)是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，除了書上涉及的知識(shí)點(diǎn)，由同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角延伸出的sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-sin2α也是一個(gè)考點(diǎn)。本文從幾道例題出發(fā)，就sinα±cosα與sinαcosα的運(yùn)用舉例說(shuō)明。
一、sinα+cosαsinαcosα
例1.若sinα與cosα是方程x2-■x+n=0的兩個(gè)根，則n= .
分析：本題通過(guò)韋達(dá)定理和sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系，求得n.
解：因?yàn)閟inαcosα=n，sinα+cosα=■且（sinα+cosα）2
=1+2sinαcosα，所以2=1+2n，得n=■.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查韋達(dá)定理及sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系.
二、sinα+cosαcosα-sinα
例2.已知α為第二象限角，sinα+cosα=■，則cos2α= .
錯(cuò)解：因?yàn)閟inα+cosα=■得1+sin2α=■
所以sin2α=-■.
又因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，?kπ+■
所以4kπ+π
所以cos2α=±■.
分析：
（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系，但要注意角的范圍；
（2）利用已知條件與同角三角函數(shù)關(guān)系，求sinα和cosα；
（3）利用二倍角余弦公式建立所求與已知條件的關(guān)系.
解法一：因?yàn)閟inα+cosα=■>0，且α為第二象限角 所以2kπ+■
即4kπ+π
又因?yàn)閟inα+cosα=■得sin2α=-■
所以cos2α=■=-■.
解法二：因?yàn)棣翞榈诙笙藿牵襰inα+cosα=■sin2α+cos2α=1
得sinα=■+■cosα=■-■
所以cos2α=cos2α-sin2α=-■.
解法三：因?yàn)閟inα+cosα=■，所以sinαcosα=-■則（cosα-sinα）2=■
又因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，即cosα
點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用.
三、sinαcosαsinα-cosα
例3.已知■=k（■
分析：利用同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，將已知條件與所求化到相同角，以便建立關(guān)系.
解：因?yàn)椤?k，
得■=2sinαcosα=k
所以（sinα-cosα）2=1-k
又因?yàn)椤?/p>
得sinα-cosα=■.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系及與的關(guān)系，特別注意sinα-cosα的符號(hào).
四、sinα+cosαsinαcosα
例4.求y=（1+sinα）（1+cosα）的最大值和最小值.
分析：利用sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系進(jìn)行換元，減少變量，變成熟悉函數(shù)求最值.
解：y=（1+sinα）（1+cosα）=1+sinα+cosα+sinαcosα
令t=sinα+cosα（-■
則y=1+t+■=■（-■
所以ymin=0，ymax=■
點(diǎn)評(píng)：主要考查sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的運(yùn)用情況，關(guān)鍵注意新元的范圍和一元二次函數(shù)在指定范圍求最值.
通過(guò)上述的四個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的使用不是單獨(dú)存在的，其核心是掌握三角函數(shù)與三角恒等變換的相關(guān)公式，并能熟練進(jìn)行運(yùn)算，這樣一切問(wèn)題才會(huì)迎刃而解。
參考文獻(xiàn)：
1.內(nèi)容與要求
1.1 本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角等
1.2 章頭引言安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題――求半圓內(nèi)接矩形的最大面積.這個(gè)問(wèn)題可以用二次函數(shù)來(lái)解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會(huì)得到三角函數(shù)式，學(xué)生尚未學(xué)過(guò)求它的最大值
第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)” 教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角（都用坐標(biāo)定義），然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用
第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)” 教科書先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式（只通過(guò)畫圖說(shuō)明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明），用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出（盡量用啟發(fā)式）其他公式，同時(shí)安排了這些公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解
第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)” 教科書先利用正弦線畫出函數(shù) ，x∈[0， ]的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動(dòng)，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的畫法，簡(jiǎn)要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了arcsinx、arccosx、arctanx等記號(hào)，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問(wèn)題時(shí)用來(lái)表示答案
1.3 本章的教學(xué)要求是：
1.3.1 使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算
1.3.2 使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式
1.3.3 使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力
1.3.4 使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）
1.3.5 使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解A、、φ的物理意義
1.3.6 使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示
2.考點(diǎn)要求
2.1 理解弧度的定義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。
2.2 掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會(huì)求的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式
2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
2.4 能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式
2.5 了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式
2.6 能正確地運(yùn)用上述公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值 證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題
2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程、并能運(yùn)用它們解斜三角形
3.考點(diǎn)分析
三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一
本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過(guò)高，計(jì)算過(guò)繁，技巧性過(guò)強(qiáng)的題目，重點(diǎn)應(yīng)放在結(jié)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上
試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識(shí)結(jié)合考查
復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)：
3.1 理解弧度制表示角的優(yōu)點(diǎn)在于把角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，二是就可把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)
3.2 要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念
3.3 在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取
3.4 單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來(lái)代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具
3.5 要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性
3.6 函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來(lái)比較大小
3.7 對(duì)于具有周期性的函數(shù)，在作圖時(shí)只要先作它在一個(gè)周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個(gè)函數(shù)的圖象
3.8 對(duì)于，，等表達(dá)式，要會(huì)進(jìn)行熟練的變形，并利用等三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)
本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識(shí)共7個(gè)，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過(guò)本章知識(shí)，題目多為求值題，有直接求某個(gè)三角函數(shù)值的，也有通過(guò)三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡(jiǎn)，證明題考查的題量一般為3―4個(gè)，分值在12―22分，都是容易題和中等題，重點(diǎn)考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式
考生丟分的原因主要有以下兩點(diǎn)：一是公式不熟，二是運(yùn)算不過(guò)關(guān)，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
3.8.1 熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個(gè)三角恒等變形的常用方法和簡(jiǎn)單技巧
①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等
②項(xiàng)的分拆與角的配湊
③降次與升次
④萬(wàn)能代換
另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實(shí)質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度
3.8.2 要會(huì)運(yùn)用和差化積與積化和差公式對(duì)三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對(duì)于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號(hào)決定，角的值由確定對(duì)這種思想，務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識(shí)
3.8.3 歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的常用方法和技巧
①三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等
②三角函數(shù)的求值問(wèn)題，主要有兩種類型 一關(guān)是給角求值問(wèn)題；另一類是給值求角問(wèn)題它們都是通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時(shí)應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題
3.8.4 關(guān)于三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單證明 三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡(jiǎn)入手，適當(dāng)變換，化繁為簡(jiǎn)，不過(guò)這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點(diǎn)來(lái)決定
①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學(xué)歸納法
②附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時(shí)地使用所附加的條件，也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法
三角恒等證明中要重點(diǎn)會(huì)用和差與積的互化公式，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異――觀察等式兩邊角、函數(shù)、運(yùn)算間的差異；尋找聯(lián)系――選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式
而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來(lái)說(shuō)，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調(diào)性得出
3.8.5 在解有關(guān)三角形的問(wèn)題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用
3.8.6 求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值
4.三角函數(shù)中應(yīng)注意的問(wèn)題
4.1 本章內(nèi)容的重點(diǎn)是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)是：弧度制的慨念，綜合運(yùn)用本章公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)
由于課時(shí)較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講，三個(gè)；除（k∈Z）外，其余誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運(yùn)用的，只是用正弦、余弦表示那幾個(gè)，以后求tan 可通過(guò)用科學(xué)計(jì)算器或者轉(zhuǎn)化為來(lái)求；在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時(shí)，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式，但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求學(xué)生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和（差）角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用；此外，也不要補(bǔ)充“把化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題
4.2 在講述弧度制的優(yōu)點(diǎn)、角度制的不足時(shí)，要注意科學(xué)性事實(shí)上，角的概念推廣后，無(wú)論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R及之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系說(shuō)“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)”時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)可以取這個(gè)角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對(duì)應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)有的教師認(rèn)為角度制的計(jì)量單位太小，而弧度制的計(jì)量單位大，而且可以省略不寫，這種說(shuō)法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由，因?yàn)樾∮行〉暮锰?，何況坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時(shí)候，我們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的，例如角其中61、21、12都是十進(jìn)數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)（退）位的，這樣，為了找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)（我們學(xué)的實(shí)數(shù)都是十進(jìn)數(shù)），要經(jīng)過(guò)一番計(jì)算，這就不太方便了
4.3 定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴(yán)格地說(shuō)，例如，只有，才可以說(shuō)是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說(shuō)明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說(shuō)是三角函數(shù)，例如可以說(shuō)是2x的正弦函數(shù)（這時(shí)可說(shuō)它是三角函數(shù)），也可以說(shuō)是正弦函數(shù)與正比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，但不能說(shuō)是x的正弦函數(shù)另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說(shuō)（或?qū)懀罢液瘮?shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，不要把部分當(dāng)作整體
4.4 關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時(shí)，可以利用設(shè)輔助角（即通過(guò)設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運(yùn)用）來(lái)求解，把求解過(guò)程調(diào)整為：
4.4.1 如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值相應(yīng)的銳角
4.4.2 決定角x可能是第幾象限角
4.4.3 如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對(duì)應(yīng)的角――如果它是第二象限角，那么可表示為 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或
也可以把上述輔助角看作參變量（x為自變量），那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識(shí)分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時(shí)適時(shí)提醒學(xué)生注意使用，這是有好處的
4.5 本章所使用的符號(hào)及其用法，全部與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達(dá)到規(guī)范化 物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時(shí)，對(duì)于本章中的幾道與物理（力學(xué)、電學(xué)）有關(guān)的習(xí)題，解答時(shí)使用的符號(hào)及其用法，應(yīng)與教科書上的相同，以免與物理教師講課時(shí)的要求發(fā)生矛盾，弄得學(xué)生無(wú)所適從
學(xué)習(xí)三角恒等變換過(guò)程中，最難的是對(duì)公式的理解及靈活運(yùn)用上.要想得心應(yīng)手的應(yīng)用三角公式，關(guān)鍵在于構(gòu)建公式網(wǎng)絡(luò)，理解其內(nèi)在聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.
本部分內(nèi)容里，考生需要理解任意角三角函數(shù)的定義，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.在此基礎(chǔ)上，能運(yùn)用上圖所述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.
一、活用定義，巧妙解題
定義是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)特征的刻畫，因此定義是研究問(wèn)題的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法. 我們已經(jīng)通過(guò)單位圓定義法得出了任意角三角函數(shù)的定義，從定義也導(dǎo)出了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，為我們進(jìn)一步研究三角函數(shù)性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).從這個(gè)意義上說(shuō)，牢固掌握三角函數(shù)的定義是學(xué)好三角函數(shù)的根本保證.
考題1. 已知角？琢的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4，3），則cos？琢=（ ）
A. B. C. - D. -
【解析】根據(jù)余弦函數(shù)定義，cos？琢=y，其中y是角？琢的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形相似可知y==-.答案選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題是課本例題的一個(gè)改編，課本原題為“已知角？琢的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，-4），求角？琢的正弦、余弦和正切值.”主要考查考生對(duì)單位圓定義法、三角形相似的判定定理的理解.從而進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)“終邊定義法”與“單位圓定義法”一致性.
相關(guān)鏈接1. 已知tan？琢=2，那么cos2？琢= .
【解析】cos2？琢====-.
【點(diǎn)評(píng)】本題為“知切求弦”題型，基本的解決思路是根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，列出方程tan？琢==2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢，cos？琢的值，從而根據(jù)二倍角公式cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得結(jié)論.但是按這種方法解題時(shí)，需要注意tan？琢=2時(shí)，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分類討論，但是結(jié)果是一致的.此外，本題也是標(biāo)準(zhǔn)的二次奇次式問(wèn)題，也可以直接化弦為切，從而求值，也就是上面的解析.與此類似，2014豐臺(tái)一模理第9題：“已知tan？琢=2，則的值為_(kāi)____.”也是類似的解法.
二、化切為弦，關(guān)注通法
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，我們知道tan？琢=，由于正弦和余弦的性質(zhì)是我們熟悉的，所以在這樣轉(zhuǎn)化之后問(wèn)題通?？梢垣@得解決.其實(shí)通過(guò)“化切為弦”“正余互化”等途徑來(lái)減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，這就是變換函數(shù)名法.它實(shí)質(zhì)上是“歸一”思想，通過(guò)同一和化歸以有利于問(wèn)題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑.
考題2. 設(shè)？琢∈（0，），？茁∈（0，），且tan？琢=，
則（ ）
A. 3？琢-？茁= B. 3？琢+？茁= C. 2？琢-？茁= D. 2？琢+？茁=
【解析】tan？琢=？圳=？圳sin？琢cos？茁=cos？琢（1+sin？茁）？圳sin？琢cos？茁-cos？琢sin？茁=cos？琢？圳sin（？琢-？茁）=cos？琢;
？琢∈（0，），？茁∈（0，），-
又cos？琢>0，0
所以？琢-？茁=-？琢，即2？琢-？茁=.答案選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道標(biāo)準(zhǔn)的化切為弦問(wèn)題，全面考查了考生對(duì)“化切為弦”思想的了解，以及兩角差的正弦公式.此外，考生也必須明白“對(duì)于銳角？琢，？茁，如果sin？琢=cos？茁，那么？琢，？茁互余”.本題另外一種解法如下：
tan？琢=======tan（+）.
？琢∈（0，），？茁∈（0，），
所以+=？琢，即2？琢-？茁=.
除本題外，考生嘗試用不同方法解決課本練習(xí)“求證：=”.
相關(guān)鏈接2. 4cos50°-tan40°=（ ）
A. B. C. D. 2-1
【解析】
4cos50°-tan40°=
==
=
==.答案選C.
【點(diǎn)評(píng)】解決本題，考生不僅需要注意“化切為弦”，同時(shí)還得注意sin？琢=sin（？仔-？琢），同時(shí)注意到系數(shù)2倍的關(guān)系，整理即可.
三、正難則反，公式逆用
按常規(guī)的思路，大家習(xí)慣公式的正用，而不習(xí)慣“倒著想，反著用”.如果說(shuō)公式的正用是拆分的過(guò)程，那么公式的逆用則是合并的過(guò)程.從思維上來(lái)講，公式的逆用，體現(xiàn)了逆向思維，是一個(gè)配湊的過(guò)程，更體現(xiàn)了構(gòu)造的思想，因此要求更高.
公式逆用中，考題最常涉及的當(dāng)屬輔助角公式了.在用輔助角公式時(shí)經(jīng)常會(huì)涉及到三角函數(shù)中的二倍角公式，兩角和與差的正、余弦公式.由于內(nèi)容豐富，所以本部分內(nèi)容命題形式不拘一格，對(duì)考生有比較高的要求.
考題3. 已知函數(shù)f（x）=cosx?sin（x+）-cos2x+，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-，]上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx?（sinx+cosx）-cos2x+
=sinxcosx-cos2x+
=sin2x-（1+cos2x）+
=sin2x-cos2x
=sin（2x-）.
所以，f（x）的最小正周期為T==？仔.
（Ⅱ）因?yàn)閤∈[-，]，所以2x-∈[-，].
于是，當(dāng)2x-=，即x=時(shí)，f（x）取得最大值;
當(dāng)2x-=-，即x=-時(shí)，f（x）取得最小值-.
所以，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-，]上的最大值為，最小值為-.
【點(diǎn)評(píng)】本題不難，屬常規(guī)問(wèn)題.第（Ⅰ）問(wèn)需要考生注意公式化簡(jiǎn).而第（Ⅱ）問(wèn)則需要注意三角函數(shù)定區(qū)間的最值問(wèn)題.請(qǐng)各位考生注意，三角函數(shù)一章的公式必須熟練掌握.而在第（Ⅰ）問(wèn)化簡(jiǎn)時(shí)考查知識(shí)點(diǎn)主要包括：正用兩角和的正弦公式、逆用二倍角公式、逆用兩角差的正弦公式.這種類型問(wèn)題非常常見(jiàn)，大多數(shù)省市高考題均有涉及.
相關(guān)鏈接3 化簡(jiǎn)cos20°?cos40°?cos80°.
【解析】=cos20°?cos40°?cos80°=
=
=
=
=.
【點(diǎn)評(píng)】觀察本式特征，20°與40°之間為二倍角關(guān)系，40°與80°之間也為二倍角關(guān)系. 所以我們嘗試應(yīng)用二倍角公式，添加分母，并同乘sin20°，則能很好利用正弦的二倍角公式.最終約分可得結(jié)果.
四、抓住整體，重點(diǎn)突破
前面我們已經(jīng)構(gòu)建了三角恒等變換的公式網(wǎng)絡(luò)，這些公式意圖通過(guò)已知的形如單角？琢，？茁的三角函數(shù)值來(lái)求出形如復(fù)合角“？琢±？茁，2？琢”等的三角函數(shù)值.出于公式的簡(jiǎn)潔性要求，更是出于角之間相互明了關(guān)系的表示，這里的已知角？琢，？茁寫成了單角的形式，但這并不意味著具體問(wèn)題中的角一定就是這樣的簡(jiǎn)潔形式，我們還是要從整體著眼，關(guān)注整體間的關(guān)系.
考題4. 設(shè)？琢為銳角，若cos（？琢+）=，則sin（2？琢+）的值為 .
【解析】 0< ？琢 <， < ？琢 +<+=.
cos（？琢+）=， sin（？琢+）=.
sin（2？琢+）=2sin（？琢+）cos（？琢+）=2??=.
cos（2？琢+）=.
sin（2？琢+）=sin（2？琢+-）=sin（2？琢+）cos-cos（2？琢+）sin=?-?=.
【點(diǎn)評(píng)】本題中有？琢與2？琢的兩倍關(guān)系，但是2？琢+與？琢+之間不是兩倍關(guān)系，所以我們需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步整理.，2（？琢+）=2？琢+-到這一步，命題者的思路就清楚了：先用關(guān)于角？琢+的二倍角公式求出角？琢+的正弦值和余弦值，再用兩角差的正弦公式即可求出結(jié)果.與本題類似，有很多問(wèn)題都可以類似解決，如“設(shè)tan（？琢+？茁）=tan（？茁-）=，則tan（？琢+）= .”只需要知道？琢+=（？琢+？茁）-（？茁-）即可.
相關(guān)鏈接4. 已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）.
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;
（Ⅱ）若？琢是第二象限角，f（）=cos（？琢+）cos2？琢，求cos？琢-sin？琢的值.
【解析】
（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+2k？仔，+2k？仔]，k∈Z，
由-+2k？仔≤3x+≤+2k？仔，k∈Z，得-+≤x≤+，k∈Z.
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+， +]，k∈Z.
（Ⅱ）由已知， 有sin（？琢+）=cos（？琢+）（cos2？琢+sin2？琢），
所以sin？琢cos+cos？琢sin=（cos？琢cos-sin？琢sin）
（cos2？琢-sin2？琢），
即sin？琢+cos？琢=（cos？琢-sin？琢）2（sin？琢+cos？琢）.
當(dāng)sin？琢+cos？琢=0時(shí)，由？琢是第二象限角，知？琢=+2k？仔，k∈Z.
此時(shí)，cos？琢-sin？琢=-.
當(dāng)sin？琢+cos？琢≠0時(shí)，有（cos？琢-sin？琢）2=.
由？琢是第二象限角，知cos？琢-sin？琢< 0，此時(shí)cos？琢-sin？琢=-.
綜上所述，cos？琢-sin？琢=-或-.
【點(diǎn)評(píng)】本題第（Ⅰ）問(wèn)考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，第（Ⅱ）問(wèn)考查三角函數(shù)的恒等變換.在第（Ⅱ）問(wèn)中，考生需要注意我們要求的是cos？琢-sin？琢這個(gè)整體的值，所以我們不需要單獨(dú)求得sin？琢與cos？琢的值.此外，在整理的過(guò)程中，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，換句話說(shuō)，不能直接認(rèn)為cos？琢+sin？琢≠0從而直接約分.
五、樹立目標(biāo)，提高效率
三角恒等變換是有一些基本的模式，但是如果以為掌握了這些所謂的方法和技巧，就能夠通過(guò)套用“公式或套路”就能夠順利解決問(wèn)題，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了.要想順利的解決三角恒等變換問(wèn)題，出來(lái)熟悉公式網(wǎng)絡(luò)以外，還要有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)，在目標(biāo)的引領(lǐng)下，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，逐步推進(jìn)，直至導(dǎo)出結(jié)論.
考題5. 對(duì)于任意的？茲，求32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲的值.
【解析】因?yàn)?2cos6？茲=32（）3=4cos3 2？茲+12cos2 2？茲+12cos2？茲+4，
-cos6？茲=-4cos3 2？茲+3cos2？茲，
-6cos4？茲=-12cos2 2？茲+6，
-15cos2？茲=-15cos2？茲，
所以，各式相加，得32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲=10.
【點(diǎn)評(píng)】初次接觸本題，大多數(shù)考生都會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，因?yàn)檫@里的函數(shù)雖然都是余弦，但是角包括了？茲，2？茲，4？茲，6？茲，如果想把角都化簡(jiǎn)到？茲，明顯工作量太大，畢竟涉及到了6倍角.所以我們把目標(biāo)定位2？茲，這樣4？茲是2？茲的二倍角，6？茲是2？茲的三倍角，？茲是2？茲的半角，操作起來(lái)必然事半功倍.
六、適當(dāng)推廣，提高能力
現(xiàn)在很多的考生都要參加各個(gè)學(xué)校組織的自主招生考試，自主招生試題與普通高考試題比起來(lái)，出題形式更加靈活，知識(shí)面更廣、更深，對(duì)考生的能力要求更高.
考題6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= .
【解析】因?yàn)閏osxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，
sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;
所以sin（x+y）=.
【點(diǎn)評(píng)】本題需要考生了解和差化積公式.其實(shí)，補(bǔ)充上和差化積與積化和差公式，以及萬(wàn)能公式的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)如下：
相關(guān)鏈接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.
【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①
由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②
兩式相加，得2-2cos（x+y）=+=，
所以cos（x+y）=1-=.
又由sinx+siny=，得2sincos=…………③
由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④
兩式相除，得tan=-，
所以sin（x-y）==
-=-.
【點(diǎn)評(píng)】本題要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知條件只需要平方處理，也會(huì)包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的時(shí)候，則需要考生對(duì)和差化積公式有相當(dāng)?shù)牧私?
例1 在RtABC中,各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍,那么銳角A的三角函數(shù)值( ).
A.都擴(kuò)大3倍B.都擴(kuò)大4倍
C.不能確定D.沒(méi)有變化
錯(cuò)解:A.
錯(cuò)因分析:三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值,三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似,所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變.錯(cuò)解沒(méi)有真正理解三角函數(shù)的意義.
正解:D.
點(diǎn)撥:三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值,大小只與角的度數(shù)有關(guān),與邊的大小無(wú)關(guān).
二、未能理解符號(hào)意義
例2 下列命題:①sinα表示角α與符號(hào)sin的乘積;②在ABC中,若∠C=90°,則c=αsinA成立;③任何銳角的正弦和余弦值都是介于0和1之間實(shí)數(shù).其正確的為().
A.②③B.①②③ C.② D.③
錯(cuò)解:B.
錯(cuò)因分析:sinα是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào),不能理解為是α與符號(hào)sin的乘積的關(guān)系.因此①錯(cuò);在ABC中,若∠C=90°,則sinA=,c=,所以②不正確;所以只有③正確.
正解:D.
點(diǎn)撥:銳角三角函數(shù)符號(hào)是一種表示方法,不要認(rèn)為是運(yùn)算符號(hào).
三、忽視分類討論
例3 RtABC的兩條邊分別是6和8,求其最小角的正弦值.
錯(cuò)解:因?yàn)?和8是直角三角形的兩邊,所以斜邊是10,所以最小角的正弦值是即.
錯(cuò)因分析:已知條件中并沒(méi)有告訴6和8是兩條直角邊,所以本題應(yīng)分兩種情況:
(1)6和8是兩條直角邊;(2)6是直角邊,8是斜邊.錯(cuò)在忽視了第2種情況.
正解:當(dāng)6和8是直角邊時(shí),斜邊是10,所以最小角的正弦值;
當(dāng)6是直角邊,8是斜邊時(shí),則另一直角邊是=2,最短邊是2,所以最小角的正弦值為=.
綜上可知,最小角的正弦值或.
點(diǎn)撥:在直角三角形中,給出兩邊,在沒(méi)有說(shuō)明是直角邊或斜邊的情況下,要分這兩邊是直角邊與所給的長(zhǎng)邊是斜邊兩種情況來(lái)討論.
四、主觀臆斷
例4在RtABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,則sin=_______.
錯(cuò)解: 因?yàn)閟inA===,所以sin=.
錯(cuò)因分析:本題錯(cuò)在將∠A一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.實(shí)際上, 它們是不相等的.如sin90°=1,而sin45°=.本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù),然后再求其正弦值.
正解:因?yàn)閟inA===,所以∠A=60°,所以=30°,所以sin= .
點(diǎn)撥: 求一個(gè)角一半的三角函數(shù)值,應(yīng)先求出這個(gè)角的度數(shù),然后再求其三角函數(shù)值,一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角一半的三角函數(shù)值.
五、特殊角的三角函數(shù)值變換不清
例5 銳角α滿足
A.30°
C.45°
錯(cuò)解:A.
錯(cuò)因分析:正弦值與正切值都隨度數(shù)的增大而增大,而余弦值是隨度數(shù)的增大而減小(在銳角范圍內(nèi)).本題錯(cuò)在沒(méi)有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù),將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴,混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.
正解: cos60°=,cos45°=,
又cos60°
45°
點(diǎn)撥:在銳角范圍內(nèi),正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù),即度數(shù)大三角函數(shù)值就大;而余弦正好相反.
六、忽視銳角三角函數(shù)值的范圍
例6 已知α為銳角4tan2α-3=0,求tanα.
錯(cuò)解:因?yàn)?tan2α-3=0,所以tan2α=,兩邊同時(shí)開(kāi)方得tanα=± .
所以tanα=± .
錯(cuò)因分析:銳角三角函數(shù)等于相應(yīng)直角三角形邊的比,所以tanα>0.
正解:因?yàn)?tan2α-3=0,所以tan2α=,兩邊同時(shí)開(kāi)方得tanα=± ,因?yàn)閠anα>0,所以tanα= .
點(diǎn)撥:銳角三角函數(shù)值的都是正數(shù),在求解時(shí)不要忘記.
七、仰角、俯角概念不清
例7 如圖1,直升機(jī)在長(zhǎng)江大橋AB上方P點(diǎn)處,此時(shí)飛機(jī)離地面高度為am,且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上,測(cè)得點(diǎn)A俯角為α,點(diǎn)B的俯角為β,求長(zhǎng)江大橋AB的長(zhǎng)度.
錯(cuò)解:在RtAOP中 ,tan∠APO=,
∠APO=α,
OA=OP•tanα.
在RtBPO中,∠BPO= β .
tan∠BPO= ,
OB=OP•tan∠BPO .
AB=OA-OB=OP(tanα-tan β)
=a(tanα-tan β).
錯(cuò)因分析:俯角與仰角都是指水平線與視線所成的角,一個(gè)指向下看,一個(gè)往上看.本題錯(cuò)在把從P點(diǎn)觀測(cè)A點(diǎn)的俯角誤認(rèn)為∠APO,從P點(diǎn)觀測(cè)B點(diǎn)的俯角誤認(rèn)為∠BPO,只有弄清俯角才能避免該錯(cuò)誤.
正解:根據(jù)題意得∠CPA=α,∠BPC= β,
∠PAO=α,∠PBO= β .
在RtPOA中,
cot∠PAO=,OA=OP•cotα .
在RtPOB中,
cot∠PAO=,OB=OP•cot β .
AB=OA-OB=OP•cotα-OP•cot β
=OP(cotα-cot β )
=a(cotα-cot β ).
點(diǎn)撥:弄清俯角與仰角是解決觀測(cè)問(wèn)題的關(guān)鍵.
八、忽視三角函數(shù)是應(yīng)用在直角三角形中
例8 已知等腰ABC中,AB=AC=10, BC=12.求sin∠ACB的值.
錯(cuò)解:因?yàn)锳C=10,BC=12,所以sin∠ACB==
=.
錯(cuò)因分析:本題錯(cuò)在沒(méi)有理解銳角三角形函數(shù)所使用的范圍.只有在直角三角形中,才能根據(jù)銳角的三角函數(shù)定義求值.解決本題可作高,構(gòu)成直角三角形來(lái)求解.
正解:如圖2,作ADBC于D,因?yàn)锳B=AC=10,BC=12,所以BD=CD=6.
在RtABD中,AD===8 ,所以sin∠ACB===.
點(diǎn)撥: 當(dāng)已知條件為非直角三角形時(shí),不能用對(duì)邊比鄰邊直接求三角函數(shù)值,而應(yīng)構(gòu)造直角三角形后根據(jù)定義求值.
例9 已知ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別a、b、c,且a=17,b=15,c=8,求sin∠B.
錯(cuò)解:根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知sin∠B== .
錯(cuò)因分析:要求∠B的正弦值,需要先確定ABC是否是直角三角形,如果是,要先確定出直角和∠B的對(duì)邊,然后再利用定義求解.
三角函數(shù)是高考常考不衰的熱點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)表明，各地高考試卷中都保持著一大一小的格局，分值在17分左右，通常設(shè)置在靠前位置上，一般為基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題.從考查內(nèi)容上看，三角函數(shù)的圖象以及單調(diào)性、最值、函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象的平移和伸縮變換以及根據(jù)圖象確定[A，ω，φ]的值等問(wèn)題，一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.特別是與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，又考查三角恒等變換的方法和技巧，注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.
命題特點(diǎn)
密切聯(lián)系教材，試題通常是通過(guò)對(duì)課本原題的改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、拓廣，從學(xué)科整體意義的高度去考慮問(wèn)題，從而成為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并富含時(shí)代氣息、貼近學(xué)生的問(wèn)題.
考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考查既注意全面，更注意突出重點(diǎn)，對(duì)支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，保持必要的深度.試題在考查知識(shí)的同時(shí)更注重?cái)?shù)學(xué)方法的考查，倡導(dǎo)通性通法，淡化特殊技巧，較好地體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托，以能力為考查目的的命題指向.在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題已成為命題方向，試題綜合程度、整合力度不斷加大已是必然態(tài)勢(shì).注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識(shí)的綜合性，既能從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，又能使基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度.
試題注重了對(duì)正弦形函數(shù)的考查，近三年來(lái)出現(xiàn)的核心題型是：先用三角函數(shù)各類公式將題目給出的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再考查正弦型函數(shù)的八個(gè)考點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性，對(duì)稱性，值域，解析式，圖象的變換，圖象的應(yīng)用.
[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質(zhì)
圖象變換是三角函數(shù)的考查的重要內(nèi)容，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解[A，ω，φ]的意義，特別是[ω]的判定，以及伸縮變換對(duì)[φ]的影響.
例1 設(shè)函數(shù)[f（x）=cosωx（ω>0）]，將[y=f（x）]的圖象向右平移[π3]個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則[ω]的最小值等于 （ ）
A. [13] B. 3 C. 6 D. 9
答案 C
點(diǎn)撥 本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]中的[ω]對(duì)函數(shù)圖象變化的影響，應(yīng)引起重視.
例2 已知函數(shù)[f（x）=sin（2x+φ）]，其中[φ]為實(shí)數(shù)，若[f（x）≤f（π6）]對(duì)[x∈R]恒成立，且[f（π2）>f（π）]，則[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）
A. [kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）]
B. [kπ，kπ+π2（k∈Z）]
C. [kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）]
D. [kπ-π2，kπ（k∈Z）]
解析 若[f（x）≤f（π6）]對(duì)[x∈R]恒成立，
則[f（π6）=sin（π3+φ）=1]，
所以[π3+φ=kπ+π2，k∈Z]，即[φ=kπ+π6，k∈Z].
由[f（π2）>f（π）]，[（k∈Z）]可知，
[sin（π+φ）>sin（2π+φ）]，即[sinφ
所以[φ=2kπ+π6，k∈Z]，代入[f（x）=sin（2x+φ）]得，
[f（x）=sin（2x+π6），]由[2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2]得，
[kπ-π3≤x≤kπ+π6].
答案 A
點(diǎn)撥 考查正弦函數(shù)的有界性，正弦函數(shù)的單調(diào)性.屬中等偏難題.
備考指南
1. 要立足于教材，弄清公式的來(lái)龍去脈及適用條件；
2. 要?dú)w納解題思路及解題規(guī)律.
3. 近年高考命題強(qiáng)調(diào)以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)綜合性和應(yīng)用性的考查，跨學(xué)科應(yīng)用是三角函數(shù)的一個(gè)鮮明特點(diǎn)，應(yīng)注意知識(shí)點(diǎn)交匯處的題型.
限時(shí)訓(xùn)練
1.函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為 （ ）
A. [π8] B. [π4] C. [π2] D. [π]
2. 函數(shù)[y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）]是 （ ）
A. 奇函數(shù)且在[0，π2]上單調(diào)遞增
B. 奇函數(shù)且在[π2，π]上單調(diào)遞增
C. 偶函數(shù)且在[0，π2]上單調(diào)遞增
D. 偶函數(shù)且在[π2，π]上單調(diào)遞增
3. 函數(shù)[y=tan（-x+π4）]的單調(diào)遞減區(qū)間是 （ ）
A. [（kπ-π4，kπ+3π4）（k∈Z）]
B. [（kπ-3π4，kπ+π4）（k∈Z）]
C. [（2kπ-π4，2kπ+3π4）（k∈Z）]
D. [（2kπ-3π4，2kπ+π4）（k∈Z）]
4. 函數(shù)[f（x）=sinx-cos（x+π6）]的值域?yàn)?（ ）
A. [-2，2] B. [-3，3]
C. [-1，1] D. [-32，32]
5. 為了得到函數(shù)[y=sin2x]的圖象，可將函數(shù)[y=sin（2x+π6）]的圖象 （ ）
A. 向左平移[π12]個(gè)長(zhǎng)度單位
B. 向左平移[π6]個(gè)長(zhǎng)度單位
C. 向右平移[π6]個(gè)長(zhǎng)度單位
D. 向右平移[π12]個(gè)長(zhǎng)度單位
6. 將函數(shù)[f（x）=22sin2x+62cos2x]的圖象向右平移[π4]個(gè)單位后得到函數(shù)[g（x）]的圖象，則[g（x4）=] （ ）
A. [62] B. -1 C. [2] D. 2
7.函數(shù)[y=cosx?tanx-π2
[A] [B] [C] [D]
8. 函數(shù)[f（x）=Asin（ωx+φ）， （ω>0，|φ|
A. [f（x）=-4sin（π8x-π4）]
B. [f（x）=-4sin（π8x+π4）]
C. [f（x）=4sin（π8x-π4）]
D. [f（x）=4sin（π8x+π4）]
9. 已知函數(shù)[y=2sinx]的定義域?yàn)閇[a，b]]，值域?yàn)閇[-2，1]]，則[b-a]的值不可能是 （ ）
A.[5π6] B.[π] C.[7π6] D.[2π]
10. 定義運(yùn)算：[a1a2a3a4=a1a4-a2a3]，將函數(shù)[f（x）=3cosx21sinx2]的圖象向左平移[m]（[m>0]）個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則[m]的最小值是 （ ）
A. [π3] B. [2π3] C. [4π3] D. [7π3]
11. 函數(shù)[y=sin（-x+π3）（x∈0，2π]的單調(diào)減區(qū)間是____________.
12. 函數(shù)[f（x）=3cos2x+sinxcosx-32][（x∈0，π4）]的取值范圍是__________.
13. 方程[sinπx=14x]的解的個(gè)數(shù)是__________.
14. 關(guān)于下列命題：
①函數(shù)[y=tanx]在第一象限是增函數(shù)；
②函數(shù)[y=cos2（π4-x）]是奇函數(shù)；
③函數(shù)[y=4sin（2x-π3）]的一個(gè)對(duì)稱中心是[（π6，0）]；
④函數(shù)[y=sin（x+π4）]在閉區(qū)間[[-π2，π2]]上是增函數(shù).
寫出所有正確的命題的題號(hào)：___________.
15. 已知函數(shù)[f（x）=Asin（ωx-π4）（A>0，ω>0）]，[x∈R]的最大值是1且其最小正周期為[π].
（1）求[f（x）]的解析式；
（2）已知[α，β∈（0，π2）]，且[f（α2+38π）=35，f（β2+π8）=513]，求[cos（α-β）]的值.
16. 已知向量[a=（2sinx，3cosx），][b=（sinx，2sinx）]，函數(shù)[f（x）=a?b].
（1）求[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若不等式[f（x）≥m對(duì)x∈0，π2]都成立，求實(shí)數(shù)[m]的最大值.
17. 已知函數(shù)[f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω>0）]的最小正周期為[π].
（1）求函數(shù)[f（x）]圖象的對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)[g（x）=f（x）-f（π4-x）]，求函數(shù)[g（x）]在區(qū)間[[π8，3π4]]上的最小值和最大值.
18. 在公比為2的等比數(shù)列[an]中，[a2]與[a4]的等差中項(xiàng)是[53].
[⇩] 知識(shí)梳理
1． 三角函數(shù)為正的規(guī)律：一全正，二正弦，三是切，四余弦.
2． 誘導(dǎo)公式規(guī)律：奇變偶不變，符號(hào)看象限.
3． （1）正（余）弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與x軸的交點(diǎn)（振幅關(guān)于x軸對(duì)稱）；
（2）正（余）切型函數(shù)的對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)或漸近線與x軸的交點(diǎn),但沒(méi)有對(duì)稱軸（y軸方向無(wú)平移時(shí)）．
4． 兩種三角變換（A>0，ω>0）
（1）先平移后伸縮：y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
（2）先伸縮后平移：y＝sinxy＝sin（ωx）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
5． 兩個(gè)非零向量平行的充要條件（a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ為實(shí)數(shù)）
（1）向量式：a∥b⇔存在λ使得a=λb；
（2）坐標(biāo)式：a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
6． 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件（a=（x1，y1），b=（x2，y2））
（1）向量式：ab⇔a?b=0；
（2）坐標(biāo)式：ab⇔x1x2+y1y2=0.
7． 設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a?b =|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，其幾何意義是a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a上投影的長(zhǎng)度的乘積.
8． 數(shù)量積的坐標(biāo)表示
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a?b=x1x2+y1y2；
（2）若a=（x，y），則a2=a?a=x2+y2， |a|=；
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），則
=（兩點(diǎn)距離公式）.
[⇩] 模擬調(diào)研
1． 向量及三角函數(shù)平移
模擬題1（2008重慶，中）將f（x）=cos
x－的圖象按向量c平移，得到函數(shù)f（x）=cosx+1，則c可以是（）
A．
，1 B．
－,1
C．
,－1 D．
－，－1
簡(jiǎn)析 將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到f（x）=cosx+1的圖象． 故選B．
高考題1（2008福建，中）函數(shù) f（x）=cosx，x∈R的圖象按向量（m，0） 平移后，得到函數(shù)y=－f ′（x）的圖象，則m的值可以為（）
A．B． πC． －π D．－
點(diǎn)評(píng) 該模擬題主要考查了向量、三角函數(shù)平移問(wèn)題，而高考題把向量、三角、導(dǎo)數(shù)融于一體，知識(shí)點(diǎn)較多，立意新穎，能夠考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解程度以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．在知識(shí)交匯點(diǎn)命題是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，估計(jì)2009年高考對(duì)三角函數(shù)圖象平移的考查除了傳統(tǒng)題型外，還可能與三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等交匯命題． 試題類型主要是選擇題．
2． 向量的基本運(yùn)算及分解
模擬題2（2008北京西城區(qū)，易）已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且++=，那么一定有（）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
簡(jiǎn)析由=+代入已知得=2． 故選D．
高考題2（2008遼寧，易）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2+=0，則等于（）
A． 2－
B． －+2
C． －
D． －+
點(diǎn)評(píng)該模擬題考查了向量的基本運(yùn)算及分解方法，此高考題和模擬題的考查點(diǎn)相同．估計(jì)2009年高考對(duì)向量基本運(yùn)算的考查形式：①以類似的形式出現(xiàn)；②在三角形或四邊形中結(jié)合考查平面向量的基本定理的形式出現(xiàn)． 試題類型主要是選擇題．
3． 和（差）向量的長(zhǎng)度
模擬題3（2008北京東城區(qū)，易）已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，則向量a，b的夾角為（）
A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°
簡(jiǎn)析 求向量a，b夾角的關(guān)鍵是求出數(shù)量積，將|2a+b|=平方可求得a?b=3，所以cosθ==． 故選C．
高考題3（2008江蘇，易）已知向量a和b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a－b|=_______．
點(diǎn)評(píng)該模擬題考查了向量夾角公式及和向量的長(zhǎng)度，高考題是知道夾角求差向量的長(zhǎng)度，兩題的關(guān)鍵都是對(duì)和、差向量的長(zhǎng)度作平方處理，這是平面向量的主要考點(diǎn)之一．2009年高考中對(duì)向量的夾角、和或差，向量的模的考查，估計(jì)還會(huì)以這種形式出現(xiàn)． 試題類型主要是選擇題、填空題．
4． 以不等式為背景找范圍
模擬題4（2008河北衡水，中）在（0，2π）內(nèi)，使sinx≥cosx成立的x的取值范圍是（）
簡(jiǎn)析 由x∈（0，2π）且sinx≥cosx，得0
sin2x≥cos2x，解得≤x≤. 故選D．
高考題4（2008四川，中）若0≤α≤2π，sinα>cosα，則α的取值范圍是（）
A．
點(diǎn)評(píng)該模擬題和高考題均以不等式為背景，考查同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系等的掌握情況及恒等變形的能力，考查利用數(shù)形結(jié)合的思想解題的技巧． 估計(jì)2009年高考對(duì)三角不等式、利用數(shù)形結(jié)合的思想解題依然是熱點(diǎn)，試題類型主要是選擇題和填空題．
5． 周期性及對(duì)稱性
模擬題5（2008河北石家莊，中）已知函數(shù)f（x）=2sinω
x+，ω>0的最小正周期為4π，則該函數(shù)的圖象（）
A． 關(guān)于點(diǎn)
，0對(duì)稱
B． 關(guān)于直線x=對(duì)稱
C． 關(guān)于點(diǎn)
，0對(duì)稱
D． 關(guān)于直線x=對(duì)稱
簡(jiǎn)析 T=4π，ω=，所以f（x）=sin
+，令+=kπ，解得x=2kπ－，k∈Z． 當(dāng)k=1時(shí)，x=． 故選A．
高考題5（2008湖北，中）將函數(shù)y=sin（x－θ）的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象F ′，若F ′的一條對(duì)稱軸是直線x=，則θ的一個(gè)可能取值是（）
A． B． －
C． D． －
點(diǎn)評(píng) 該模擬題直接考查三角函數(shù)的周期性及對(duì)稱性，而高考題打破常規(guī)，把三角函數(shù)圖象平移與對(duì)稱性相結(jié)合，求參量的值，形式新穎別致，更能考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 估計(jì)2009年高考除了會(huì)直接考查三角函數(shù)的對(duì)稱性外，極有可能與其他的性質(zhì)交匯命題． 試題類型主要是選擇題或填空題．
6． 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算
模擬題6（2008山東，中）已知向量a=sinx，
，b=（cosx，－1）．
（Ⅰ）當(dāng)a∥b，求2cos2x－sin2x；
（Ⅱ）求f（x）=（a+b）?b在
－，0的值域．
簡(jiǎn)析（Ⅰ）由a∥b可得tanx=－，所以原式===．
高考題6（2008福建，中）已知向量m=（sinA，cosA），n=（，－1），m?n=1，且A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大?。?/p>
1 關(guān)于“三垂線定理及其逆定理”
很多教師都說(shuō)，整個(gè)高中立體幾何就是“三垂線定理”。 立體幾何中的“三垂線定理”不見(jiàn)了，這是讓很多教師都無(wú)法想象的.盡管說(shuō)得過(guò)分些，但從另外一個(gè)角度說(shuō)明，“三垂線定理”在整個(gè)高中“立體幾何”中的地位和作用。確實(shí)，“三垂線定理”是整個(gè)立體幾何內(nèi)容的一個(gè)典型代表，處在整個(gè)立體幾何知識(shí)的樞紐位置，綜合了很多知識(shí)內(nèi)容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行。在數(shù)學(xué)2“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中雖然沒(méi)有明確提到“三垂線定理”，很多老師都補(bǔ)充進(jìn)去了，要求學(xué)生掌握運(yùn)用，但是我認(rèn)為這恰好是新課程減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)的一個(gè)體現(xiàn)，其實(shí)不知道這個(gè)定理，直接做也不復(fù)雜，就多了一個(gè)線面、線線的垂直關(guān)系，這也能夠讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)線面垂直關(guān)系的理解，而且有些學(xué)生還會(huì)糾結(jié)在“三垂線定理”，還是“三垂線定理的逆定理”上面。
隨著選修教材把空間向量及其運(yùn)算引入“立體幾何”內(nèi)容中，用空間向量及其運(yùn)算的向量方法（或坐標(biāo)方法）處理有關(guān)垂直和平行問(wèn)題成為一種普適的方法，用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法退居其次。高中數(shù)學(xué)新課程中強(qiáng)調(diào)用空間向量及其運(yùn)算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理問(wèn)題。
2 線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式
在大綱教材中，這一公式是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而課標(biāo)教材中，只是把它作為平面向量的一個(gè)應(yīng)用，因而降低了要求，我們只需利用向量工具推導(dǎo)出定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，不必要求記住公式并用來(lái)解決問(wèn)題.因此在教學(xué)中完全可以不用補(bǔ)充讓學(xué)生記憶了。
3 平行線的距離公式
教材中有一個(gè)例題是計(jì)算平行線的距離，處理的辦法是在直線上任取一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到直線的距離，把平行線的距離公式放到了習(xí)題里面，我覺(jué)得這個(gè)處理也很好，減輕了學(xué)生記憶公式的負(fù)擔(dān)。
4 《新課標(biāo)》指出“數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具”
數(shù)學(xué)是自然科學(xué)和其他科學(xué)的工具，是科研的工具，是日常生活的工具，作為重要的工具，它應(yīng)用廣泛，功能強(qiáng)大。在人教社高中數(shù)學(xué)教材中，新增了算法、定積分，加強(qiáng)了統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容，更加直接、鮮明地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性特點(diǎn)。在平面向量中單獨(dú)增加一節(jié)內(nèi)容《平面向量在物理學(xué)中的應(yīng)用》，導(dǎo)數(shù)與定積分在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，可以改變中學(xué)物理教學(xué)的思路和方法；邏輯聯(lián)結(jié)詞與物理學(xué)中的邏輯電路可以聯(lián)系在一起；概率與統(tǒng)計(jì)可以和生物學(xué)的有關(guān)內(nèi)容整合。
5 大綱教材和課標(biāo)教材